Saltar la navegación

2. Ecuaciones de segundo grado

Importante

Una ecuación de segundo grado es una ecuación que tras simplificarla y pasar todos los términos a un lado queda de la forma: \( ax^2+bx+c=0 \). Para resolverlas se usa la fórmula:

\[ x = \displaystyle \frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\]

Ejemplos

\[ \begin{array}{rl}
2x^2+x=2x+6  &\Rightarrow 2x^2+x-2x-6=0 \Rightarrow 2x^2-x-6=0 \Rightarrow \\
 & \Rightarrow a=2, b=-1, c=-6
\end{array}
\]

\[ \begin{array}{rl}
ax^2+x+c=0  &\Rightarrow\displaystyle \frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a} =\displaystyle \frac {-(-1)\pm \sqrt {(-1)^2-4·2·(-6)}}{2·2} = \\
 & = \displaystyle \frac {1 \pm \sqrt {1+48}}{4}=\displaystyle \frac {1 \pm \sqrt {49}}{4} = \displaystyle \frac {1 \pm 7}{4} \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l}
x_1 = \displaystyle \frac {1 + 7}{4} = \displaystyle \frac {8}{4}=2\\
x_2= \displaystyle \frac {1 - 7}{4} = \displaystyle \frac {-6}{4}=\displaystyle \frac {-3}{2}
\end{array} \right .
\end{array}
\]

\[ \begin{array}{rl}
18x^2+9x-2=0  &\Rightarrow \displaystyle \frac {-9\pm \sqrt {9^2-4·18·(-2)}}{2·18} =\displaystyle \frac {-9\pm \sqrt {81+144}}{36} = \\
 & =\displaystyle \frac {-9\pm \sqrt {225}}{36} =\displaystyle \frac {-9 \pm 15}{36}  \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l}
x_1 = \displaystyle \frac {-9+15}{36} = \displaystyle \frac {6}{36}=\displaystyle \frac {1}{6}\\
x_2= \displaystyle \frac {-9-15}{36} = \displaystyle \frac {-24}{36}=- \displaystyle \frac {2}{3}
\end{array} \right .
\end{array}
\]

En este vídeo dispones de varios ejemplos resueltos de ecuaciones de segundo grado.

Ejercicio 2

En  este enlace vas a resolver ecuaciones de segundo grado. Lee las instrucciones y completa los huecos.

Importante

En las ecuaciones de segundo grado, a veces hay dos soluciones, a veces una y otras no tienen solución. Esto depende del número que nos quede dentro de la raíz (discriminante), o sea, del valor de la expresión:

\[ \Delta = b^2-4ac\]
  • Si el discriminante es positivo \( ( \Delta > 0 ) \), hay dos soluciones.
  • Si el discriminante es cero \( ( \Delta = 0 ) \), hay una única solución.
  • Si es negativo \( ( \Delta <0 ) \), no existe solución, pues como sabes, la raíz cuadrada de un número negativo no existe.

Ejemplos

\( x^2-8x+12=0 \Rightarrow \Delta = b^2 - 4ac = 64-4·1·12 = 64-48=16 \Rightarrow \) 2 soluciones:

\[ x = \displaystyle \frac {8 \pm \sqrt{16}}{2}=\displaystyle \frac {8 \pm 4}{2} \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l}
x_1 = \displaystyle \frac {12}{2} =6\\
x_2 = \displaystyle \frac {4}{2} =2\end{array} \right . \]

\( x^2-6x+9=0 \Rightarrow \Delta = 36-4·1·9 = 36-36=0 \Rightarrow \) 1 solución:

\[ x = \displaystyle \frac {6 \pm \sqrt{0}}{2}=\displaystyle \frac {6}{2} =3 \]

\( x^2+x+1=0 \Rightarrow \Delta = 1-4·1·1 = 1-4=-3 \Rightarrow \) Ninguna solución

Ejercicio 3

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado indicando previamente el número de soluciones que tienen:

\[ 1) \hspace{10px} -3x^2-3x-2=0 \hspace{40px} 2) \hspace{10px} x^2-8x+16=0 \]

Importante

Se llaman ecuaciones incompletas de segundo grado a las que le falta el término en \(x \) o el término independiente:

\[ ax^2 +bx+c=0 \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l}
\text {si } b=0\Rightarrow ax^2+c=0\Rightarrow \text{Despejamos el }x^2\\
\text {si } c=0\Rightarrow ax^2+bx=0\Rightarrow \text{Sacamos factor común x}
\end{array} \right . \]

Ejemplos

\( -5x^2+605=0 \)

Como completa:

\[ x  = \displaystyle \frac {0\pm \sqrt {0-4·(-5)·605}}{2·(-5)} =\displaystyle \frac { \pm \sqrt {12100}}{-10} \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l}
x_1 = \displaystyle \frac {110}{-10} =-11\\
x_2= \displaystyle \frac {-110}{-10} =11
\end{array} \right . \]

Como incompleta:

\[ -5x^2+605=0  \Rightarrow -5x^2 = -605 \Rightarrow x^2 = \displaystyle \frac{-605}{-5} \Rightarrow x = \pm \sqrt {121} = \pm 11 \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l}
x_1 = 11\\
x_2= -11
\end{array} \right . \]

\( 9x^2+x=0 \)

Como completa:

\[ x  = \displaystyle \frac {-1\pm \sqrt {1-4·9·0}}{2·9} =\displaystyle \frac { -1 \pm \sqrt {1}}{18} \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l}
x_1 = \displaystyle \frac {-1+1}{18} =\displaystyle \frac {0}{18}=0\\
x_2 = \displaystyle \frac {-1-1}{18} =\displaystyle \frac {-2}{18}=-\displaystyle \frac {1}{9}=\\
\end{array} \right . \]

Como incompleta:

\[ 9x^2+x=0  \Rightarrow x·(9x+1)=0 \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l}
x=0 \Rightarrow x_1 = 0\\
9x+1=0 \Rightarrow 9x=-1 \Rightarrow  x= -\displaystyle \frac {1}{9} \Rightarrow  x_2= -\displaystyle \frac {1}{9} 
\end{array} \right . \]

Dos ejemplos más de ecuaciones incompletas de segundo grado: ejemplo 1 y ejemplo 2

Ejercicios 4

En los siguientes enlaces puedes practicar ecuaciones incompletas de los dos tipos:

Incompletas (b=0)

Incompletas (c=0)