1. Ecuaciones irracionales

Retroalimentación

\begin{array}{rl}
x+ \sqrt {x-4} = 24 & \Rightarrow \sqrt {x-4} =24-x \Rightarrow ( \sqrt {x-4})^2 =(24-x)^2 \Rightarrow x-4 =576+x^2-48x  \Rightarrow \\
 &\Rightarrow x^2-49x+580=0\Rightarrow x_1=29 \hspace{20px} x_2=20
\end{array}

Comprobamos las posibles soluciones:

\( x_1=29 \Rightarrow 29+ \sqrt {29-4} = 24 \Rightarrow 29+5=24 \Rightarrow 34=24 !! \) Luego \( x=29 \) no es solución.

\( x_1=20 \Rightarrow 20+ \sqrt {20-4} = 24 \Rightarrow 20+4=24 \Rightarrow 24=24 \) Luego \( x=20 \) sí es solución.

Retroalimentación

\( \sqrt {2x+3} - \sqrt {x-2} = 2 \)

Despejamos una de las raíces y elevamos al cuadrado:

\( \sqrt {2x+3}  = 2+ \sqrt {x-2} \Rightarrow \left ( \sqrt {2x+3} \right ) ^2   = \left ( 2+ \sqrt {x-2} \right ) ^2 \Rightarrow 2x+3  = 4+x-2+4 ·  \sqrt {x-2} \)

Si observas, en esta ecuación nos vuelve a quedar una raíz, por lo que debemos repetir el proceso:

\begin{array}{rl}
4 ·  \sqrt {x-2}  = x+1 &\Rightarrow \left ( 4 ·  \sqrt {x-2} \right ) ^2  = \left ( x+1 \right ) ^2 \Rightarrow 16·(x-2) = x^2+1+2x \Rightarrow \\
 & \Rightarrow x^2-14x+33=0 \Rightarrow x_1=11 \hspace{30px} x_2=3
\end{array}

Comprobemos las soluciones (siempre en la ecuación inicial)

\( x_1=11 \Rightarrow \sqrt {2·11+3} - \sqrt {11-2} = 2 \Rightarrow 5-3 = 2 \) luego \( x=11 \) sí es solución.

\( x_1=3 \Rightarrow \sqrt {2·3+3} - \sqrt {3-2} = 2 \Rightarrow 3-1 = 2 \) luego \( x=3 \) también es solución.