3. Ecuaciones exponenciales
Importante
Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece en el exponente.
Ejemplos
\[ 1) \hspace{10px} 2^x = 512 \]
Este es el caos más sencillo, donde el número se puede descomponer con la misma base:
\[ 2^x = 512 \Rightarrow 2^x = 2^9 \Rightarrow x=9 \]
\[ 2) \hspace{10px} 3^x = 25 \]
Ahora, el número que aparece no se puede descomponer con base 3. En estos casos, basta con aplicar el logaritmo en ambos miembros de la igualdad, con base la misma que la base de la potencia:
\[ 3^x = 25 \Rightarrow \log_3 {3^x} = \log_3 25\Rightarrow x=\log_3 25 \]
\[ 3) \hspace{10px} 5·4^x = 80 \]
En este caso, además aparece un 4 multiplicando que pasaremos al otro miembro antes de aplicar logaritmos:
\[ 5·4^x = 80 \Rightarrow 4^x = 16\Rightarrow \log_4 {4^x} = \log_4 16\Rightarrow x = 2 \]
Ejercicio 25
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
\( 1) \hspace{10px} \left ( 2^{x+5} \right ) ^x =\displaystyle \frac {1}{2^6}\hspace{50px} 2) \hspace{10px} 4· 3^{7x-12} = 36 \hspace{50px} 3) \hspace{10px} \left ( \displaystyle \frac {4}{5} \right ) ^{3x-9} =\left ( \displaystyle \frac {5}{4} \right ) ^{2x-1}\)
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