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1.1. Métodos de resolución

Método de sustitución

\( \left \{
\begin{array}{rr}
3x-y & = 1 \\
2x+3y & = 19
\end{array}
\right .\)

Paso 1: Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones:

\begin{equation}
3x-y=1 \Rightarrow y=3x-1
\end{equation}

Paso 2: Sustituimos el valor de esa incógnita en la otra ecuación:

\[  2x+3y=19\Rightarrow 2x+3·(3x-1) = 19\Rightarrow 2x+9x-3=19\Rightarrow 11x=22\Rightarrow x=2\]

Paso 3: Sustituimos el valor de la incógnita \(x \) obtenida en la ecuación \( (1) \)

\[ y=3x-1 = 3·2-1 =5 \]

Luego nuestro sistema es compatible determinado, tiene una única solución: \( x=2 \) e \( y=5 \)

Ejercicio 1

Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:

\[ 1) \hspace{10px}
\left \{
\begin{array}{rcr}
2x+2y & =&2 \\
3x-2y & =&-12
\end{array}
\right .
\hspace{50px}
2) \hspace{10px}
\left \{
\begin{array}{rcr}
3x-2y & = &13 \\
5x+2y & = &11
\end{array}
\right .
\]

Aquí tienes más ejercicios para practicar.

Método de igualación

\( \left \{
\begin{array}{rr}
3x-y & = 1 \\
2x+3y & = 19
\end{array}
\right .\)

Paso 1: Despejamos la misma incógnitas de las dos ecuaciones:

\begin{equation}
3x-y=1 \Rightarrow y=3x-1
\end{equation}
\begin{equation}
2x+3y=19 \Rightarrow 3y=-2x+19 \Rightarrow y= \displaystyle \frac{19-2x}{3}
\end{equation}

Paso 2: Igualamos las dos expresiones obtenidas y despejamos la incógnita que nos ha quedado:

\begin{array}{rl}
3x-1=\displaystyle \frac{19-2x}{3} & \Rightarrow \displaystyle \frac{3·(3x-1)}{3}=\displaystyle \frac{19-2x}{3} \Rightarrow 9x-3 = 19-2x \Rightarrow\\
 &\Rightarrow  9x+2x = 19 +3 \Rightarrow 11x = 22 \Rightarrow x=2
\end{array}

Paso 3: Sustituimos el valor de la incógnita \(x \) obtenida en la ecuación \( (2) \) o en la \( (3) \)

\[ y=3x-1 = 3·2-1 =5 \]

Luego nuestro sistema es compatible determinado, tiene una única solución: \( x=2 \) e \( y=5 \)

Ejercicio 2

Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:

\[ 1) \hspace{10px}
\left \{
\begin{array}{rcr}
2x+2y & =&2 \\
3x-2y & =&-12
\end{array}
\right .
\hspace{50px}
2) \hspace{10px}
\left \{
\begin{array}{rcr}
3x-2y & = &13 \\
5x+2y & = &11
\end{array}
\right .
\]

Aquí tienes más ejercicios para practicar.

Método de reducción

\( \left \{
\begin{array}{rr}
3x-y & = 1 \\
2x+3y & = 19
\end{array}
\right .\)

Paso 1: Multiplicamos cada una de las ecuaciones por un número de tal forma que los coeficientes de una de las incógnitas queden iguales pero con diferente signo:

\[
\begin{array}{r}
·(-2)\\
·3
\end{array}
\left \{ \begin{array}{lr}
3x-y & = 1 \\
2x+3y & = 19
\end{array}
\right .
\Rightarrow \left \{ \begin{array}{lr}
-6x+2y & = -2 \\
6x+9y & = 57
\end{array}
\right . \]

Paso 2: Sumamos ambas ecuaciones y despejamos la incógnita que nos queda:

\[  11y=55 \Rightarrow y=5\]

Paso 3: repetimos el proceso con la otra incógnita:

\[
\begin{array}{r}
·3\\
 \hspace{10px}
\end{array}
\left \{ \begin{array}{lr}
3x-y & = 1 \\
2x+3y & = 19
\end{array}
\right .
\Rightarrow \left \{ \begin{array}{lr}
9x-3y & = 3 \\
2x+3y & = 19
\end{array}
\right . \]

Paso 4: sumamos de nuevo las ecuaciones y despejamos:

\[ 11x=22 \Rightarrow x=2 \]

Luego nuestro sistema es compatible determinado, tiene una única solución: \( x=2 \) e \( y=5 \)

Ejercicio 3

Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:

\[ 1) \hspace{10px}
\left \{
\begin{array}{rcr}
2x+2y & =&2 \\
3x-2y & =&-12
\end{array}
\right .
\hspace{50px}
2) \hspace{10px}
\left \{
\begin{array}{rcr}
3x-2y & = &13 \\
5x+2y & = &11
\end{array}
\right .
\]

Aquí tienes más ejercicios para practicar.