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2.1. El método de Gauss

El Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales consiste en transformar el sistema inicial, en otro equivalente (mismas soluciones) mediante las transformaciones típicas de Gauss, en uno escalonado.

Vamos a resolver el siguiente sistema por Gauss:

\(
\left \{
\begin{array}{rrr}
2x  +3y  + 4z &= & 16 \\
x -4y +5z& = & 3 \\
3x + y +3z& = & 11
\end{array}
\right .
\)

\[
\left (
\begin{array}{ccc|c}
2 & 3  & 4 &16\\
1  & -4  & 5 &3\\
3  & 1  & 3 &11
\end{array}
\right )
\Rightarrow
\begin{array}{c}
\\
F_1-2F_2\\
\\ 
\end{array}
\left (
\begin{array}{ccc|c}
2 & 3  & 4 &16\\
0  & 11  & -6 &10\\
3  & 1  & 3 &11\\
\end{array}
\right )
\Rightarrow
\begin{array}{c}
\\
\\
3F_1-2F_3\\ 
\end{array}
\left (
\begin{array}{ccc|c}
2 & 3  & 4 &16\\
0  & 11  & -6 &10\\
0  & 7  & 6 &26\\
\end{array}
\right )
\Rightarrow
\]

\[ \Rightarrow
\begin{array}{c}
\\
\\
7F_2-11F_3\\ 
\end{array}
\left (
\begin{array}{ccc|c}
2 & 3  & 4 &16\\
0  & 11  & -6 &10\\
0  & 0  & -108 &-216\\
\end{array}
\right )
\Rightarrow
\]

Con esto, ya tenemos el sistema escalonado. Basta con solucionarlo de abajo hacia arriba:

\[ -108z=-216 \Rightarrow  z=\frac {-216}{-108} \Rightarrow z=2 \]

\[ 11y-6·z=10 \Rightarrow 11y-6·2=10 \Rightarrow 11y=10+12 \Rightarrow y=\frac {22}{11} = 2 \]

\[2x+3y+4z=16 \Rightarrow 2x+3·2+4·2=16 \Rightarrow 2x =16-14 \Rightarrow x=\frac{2}{2} =1 \]

El sistema es, pues, compatible determinado.

Puedes ver otro ejemplo en el vídeo adjunto:

Ejercicio 8

Resuelve los siguiente sistemas por Gauss:

\(
a) \left \{
\begin{array}{rrr}
3x  +2y  + z &= & 1 \\
5x +3y +4z& = & 2 \\
x + y -z& = & 1
\end{array}
\right .
\)
\(
b) \left \{
\begin{array}{rrr}
x  +y  + z &= & 60 \\
3x +2y +z& = & 95 \\
4x + 4y +z& = & 150
\end{array}
\right .
\)