2. Sistemas de tres ecuaciones
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Un sistema de ecuaciones lineales se llama escalonado cuando los coeficientes de las incógnitas de las ecuaciones que lo componen se van haciendo todos ceros hasta que en la última ecuación queda solo una incógnita con un coeficiente distinto de cero.
Ejemplos de sistemas escalonados son los siguientes:
\(
\left \{
\begin{array}{rr}
3x - y &= & 4 \\
5y & = & 7
\end{array}
\right .
\) o \(
\left \{
\begin{array}{rrr}
x + y -z &= & 2 \\
y -2z& = & 3 \\
3z& = & 9
\end{array}
\right .
\)
Estos sistemas son muy fáciles de resolver. Basta con despejar una incógnita en una de las ecuaciones en la que solo queda esta y ir sustituyendo en las siguientes para hallar el valor del resto de las incógnita.
Ejercicio 7
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones escalonados:
a) \(
\left \{
\begin{array}{rrr}
2x -y + 4z &= & -7 \\
2y +3z& = & 0 \\
4z& = & -8
\end{array}
\right .
\) b) \(
\left \{
\begin{array}{rrrrr}
-x & + 4y & -z &= & -6 \\
&-3y& +z& = & 4 \\
&-2y& & = & 2
\end{array}
\right .
\)
Importante
Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es compatible si tiene solución y en caso contrario se llama incompatible.
Si el sistema es compatible y tiene una única solución recibe el nombre de compatible determinado. Y si tiene infinitas soluciones se llama compatible indeterminado.
Esta clasificación podemos resumirla en el siguiente esquema.
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Por ejemplo. El siguiente sistema de ecuaciones:
| \[ \left \{ \begin{array}{rrr} 2x + 4y + 2z &= & 14 \\ 3x + 2y -z& = & 9 \\ 2x + 4y +z& = & 8 \end{array} \right . \] |
Cuya solución es: \( x=7, y=-3, z=6 \) es compatible determinado ya que presenta una única solución según el anterior esquema.
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