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2. Cálculo de derivadas

Importante

No nos preocupemos, no va a ser necesario recurrir a la definición para calcular la derivada, ni tampoco representarla gráficamente, serían procesos muy largos y tediosos. Sin existen unas sencillas reglas prácticas con las que la función derivada de cualquier función elemental se puede hallar muy fácilmente.

\[ \begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Función}&\text{Derivada}\\
f(x)&f'(x)\\
\hline
f(x)=k&f'(x)=0\\
\hline
f(x)=x&f'(x)=1\\
\hline
f(x)=x^n \hspace{20px} n \in \mathbb{R} &f'(x)=n\cdot x^{n-1}\\
\hline
f(x)=\sqrt{x}&f'(x)=\displaystyle \frac {1}{2 \cdot \sqrt{x}}\\
\hline
f(x)=\sqrt[n]{x}&f'(x)=\displaystyle \frac {1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}\\
\hline
f(x)=\ln x&f'(x)=\displaystyle \frac {1}{x}\\
\hline
f(x)=\displaystyle \log_ax&f'(x)=\displaystyle \frac {1}{x\cdot \ln a}\\
\hline
f(x)=e^x&f'(x)=e^x\\
\hline
f(x)=a^x&f'(x)=a^x\cdot \ln a\\
\hline
f(x)=\sin x &f'(x)=\cos x\\
\hline
f(x)=\cos x &f'(x)=- \sin x\\
\hline
f(x)=\tan x &f'(x)=\displaystyle \frac {1}{\cos^2 x}\\
\hline
f(x)=\arcsin x &f'(x)=\displaystyle \frac {1}{\sqrt {1-x^2}}\\
\hline
f(x)=\arccos x &f'(x)=\displaystyle \frac {-1}{\sqrt {1-x^2}}\\
\hline
f(x)=\arctan x &f'(x)=\displaystyle \frac {1}{1+x^2}\\
\hline
\end{array} \]

Importante

Suma \((f+g)'=f'+g'\)

La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de estas funciones
Resta \((f-g)'=f'-g'\)

La derivada de la diferencia de funciones es la diferencia de las derivadas de estas funciones
Producto
 \((f \cdot g)'=f' \cdot  g+g' \cdot  f\)

La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la segunda derivada por la primera sin derivar.
Cociente
 \( \left ( \displaystyle \frac {f}{g} \right )' =\displaystyle \frac {f' \cdot g - g' \cdot f}{g^2} \)

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, y todo ello dividido por el denominador al cuadrado
Producto por un número \( (a \cdot f)'=a \cdot f'\)

La derivada del producto de un número real por la función es igual al número real por la derivada de la función
Composición
 \( (g \circ f)'=[g(f(x))]'=g'(f(x))·f'(x) \)

Regla de la cadena.

Aquí tienes una tabla resumen de todo lo anterior por si quieres tenerla a mano.

La mejor forma de aprender a derivar es derivando, así que aquí tienes unos videos del Profesor de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Juan Medina Molina (juanmemol).

Derivada de un monomio
 Derivada de una exponencial Derivada de un polinomio
 Derivada de un producto
Derivada de un cociente Derivada de una composición

 

Ejercicio 4

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

\[
\text{1. }y=x^3 \hspace{20px} \text{2. } y=2x^5 \hspace{20px} \text{3. } y=-4x^6 \hspace{20px} \text{4. } y=2x^{-3} \hspace{20px} \text{5. } y=-2x^2+3
\]
\[
\text{6. } y=5x^4-2x^3-3x+2 \hspace{20px} \text{7. } y=x^2(3x-2) \hspace{20px} \text{8. } y=(x^2+3)(2x^2-x+2)
\]
\[\text{9. }y = (x + 5)(x^3-1)(x^2-x + 3) \hspace{20px} \text{10. }y = \displaystyle \frac {x^2-3x+4}{3x-4} \hspace{20px} \text{11. }y = \displaystyle \frac {3x^2-6}{x^2+x+1} \]
\[
\text{12. }y = \displaystyle \frac {x^3-5x+2}{x^2-3x} \hspace{20px} \text{13. }y=(x^2-5x+3)^4 \hspace{20px} \text{14. }y=(3x-2)^5 \hspace{20px} \text{15. }y=(x^3-x-1)^4
\]
\[
\text{16. }y=(7x-1)^2 \hspace{20px} \text{17. }y=\sqrt{2x+1} \hspace{20px} \text{18. }y=\sqrt{x^2+5x-4} \hspace{20px} \text{19. }y=\sqrt[3]{x^2-5x}
\]
\[
\text{20. }y=\sqrt[3]{x^3+x^2-7} \hspace{20px} \text{21. } y=\ln (-3x-2) \hspace{20px} \text{22. }y=\ln (x^2+5x-4)
\]
\[\text{23. }y=\displaystyle \log_3(7x-3) \hspace{20px} \text{24. } y=\displaystyle \log_5(-2x^3-3x) \]
\[\text{25. }y=\ln (\sqrt {6x-3}) \hspace{20px} \text{26. } y=\ln^5 (8x^2-3x) = \left ( \ln (8x^2-3x) \right ) ^5\]

Ejercicios resueltos de "Yo soy tu profe"

Ejercicio 5

Calcula \(f'(1)\) sabiendo que \(f(x)=x\cdot \sqrt {2-x} \)

Ejercicio 6

Calcula \(f'(1)\) sabiendo que \( f(x)=\displaystyle \frac {x+3}{\sqrt{x}}\)

Ejercicio 7 (C)

Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:

\[f(x)= \displaystyle \frac {x^2+4x}{x^5+x^3} \]

\[ g(x)= \cos \left ( \displaystyle \frac {x^2+3}{x-1} \right ) \]

\[h(x)= \ln \left ( \displaystyle \frac {1}{\cos x} \right ) \]

Ejercicio 8

Todos sabemos que la caída de pelo es mayor en unas épocas que en otras, pero... ¿y su velocidad de crecimiento? ¿nos crece más el pelo en unos meses que en otros? Supongamos que la longitud de nuestro pelo viene determinada por la función:

\[L(t)=3\sqrt{t}\]

donde \(t\), indica el tiempo en meses.

¿Cuál será la velocidad de crecimiento en febrero (mes 2)? ¿Y en julio? ¿Cuál es la función que nos da la velocidad de crecimiento en función del tiempo?