3. Interpretación geométrica de la derivada
Importante
Si tenemos una función \(f(x)\), la derivada de la función en x=a se definió:
\[f'(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \] |
y es la pendiente de la recta tangente a \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=a\).
De esta forma, si tenemos una función \(f(x)\), su función derivada \(f'(x)\) es la función que en cada punto toma el valor de la pendiente de la recta tangente a \(f(x)\) en ese punto.
El siguiente vídeo te explica gráficamente este hecho:
La recta tangente tocará a la función en un único punto, el \( \left ( a,f(a) \right ) \).
La tangente tendrá la forma \( y=m\cdot x + n_1\).
Ya sabemos que \(m=f'(a)\) y para calcular \(n\) solo tendremos que sustituir en la expresión de la tangente el punto\( \left ( a,f(a) \right ) \).
A la recta perpendicular a esta recta tangente en el punto \(a\) se le llama recta normal. Así, la ecuación de la recta normal es \( y=-\displaystyle \frac {1}{m} \cdot x + n_2\) que resolvemos de la misma forma.
Hemos aplicado que la pendiente de una recta, \(m\), y la de una recta perpendicular a ella, \(m'\), verifican que \(m\cdot m'=-1\)
Ejercicio 9
Calcular la ecuación de la recta tangente y normal de \(f(x)=x^2-3x+1\) en \(x=0\)
Ejercicio 10
Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función \(y=\displaystyle \frac {x-1}{x-2} \) en el punto \(x=1\)
Ejercicio 11 (C)
Dada la parábola \(f(x)=x^2\), hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Encuentra la ecuación de la recta tangente y normal en dichos puntos.
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