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3. Interpretación geométrica de la derivada

Importante

Si tenemos una función \(f(x)\), la derivada de la función en x=a se definió:

\[f'(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

es la pendiente de la recta tangente a \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=a\).

De esta forma, si tenemos una función \(f(x)\), su función derivada \(f'(x)\) es la función que en cada punto toma el valor de la pendiente de la recta tangente a \(f(x)\) en ese punto.

El siguiente vídeo te explica gráficamente este hecho:

La recta tangente tocará a la función en un único punto, el \( \left ( a,f(a) \right ) \).

La tangente tendrá la forma \( y=m\cdot x + n_1\).

Ya sabemos que \(m=f'(a)\) y para calcular \(n\) solo tendremos que sustituir en la expresión de la tangente el punto\( \left ( a,f(a) \right ) \).

A la recta perpendicular a esta recta tangente en el punto \(a\) se le llama recta normal. Así, la ecuación de la recta normal es \( y=-\displaystyle \frac {1}{m} \cdot x + n_2\) que resolvemos de la misma forma.

Hemos aplicado que la pendiente de una recta, \(m\), y la de una recta perpendicular a ella, \(m'\), verifican que \(m\cdot m'=-1\)

captura tangente normal

Ejercicio 9

Calcular la ecuación de la recta  tangente y normal de  \(f(x)=x^2-3x+1\) en \(x=0\)

Ejercicio 10

Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función \(y=\displaystyle \frac {x-1}{x-2} \) en el punto \(x=1\)

Ejercicio 11 (C)

Dada la parábola \(f(x)=x^2\), hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Encuentra la ecuación de la recta tangente y normal en dichos puntos.