4. Ejercicios y aplicaciones

Ejercicio 7

Una discoteca abre sus puertas a las nueve de la noche, sin ningún cliente, y las cierra cuando se han marchado todos. Llamamos \(x\) al número de horas que está abierta la discoteca e \(y\) al número de clientes que hay en cada momento. Suponemos que la expresión analítica que relaciona al número de clientes con el número de horas que lleva abierta la discoteca es:

\[y=60x-10x^2\]

1. ¿Cuántos clientes tiene a las 10 de la noche? ¿Y a las 12?

2. ¿A qué horas hay en la discoteca 80 personas?

3. Determina el número máximo de clientes que van un sábado por la noche a la discoteca y a qué hora ocurre.

Retroalimentación

Apartado 1

Si abre a las 9 de la noche, a las 10 ha pasado una hora, luego para este caso:

\( x=1 \Rightarrow f(1)=60\cdot 1 - 10 \cdot 1^2 =60-10 = 50 \) personas.

Para las 12 horas, \( x=3 \Rightarrow f(3)= 60\cdot 3 - 10 \cdot 3^2 = 180 - 90 = 90 \) personas.

Apartado 2

80 personas \( \Rightarrow 80 = 60x-10x^2 \Rightarrow -10x^2 + 60x -80 =0 \Rightarrow
\left \{ \begin{array}{l}
x_1=2\\
x_2 =4\\
\end{array} \right . \Rightarrow \) a las 11 y a la 1 de la madrugada.

Apartado 3

Se trata en este apartado de encontrar, si lo hubiera, el máximo de la función:

\[f'(x)=-20x+60 \Rightarrow f'(x)=0 \Rightarrow -20x+60=0 \Rightarrow x=3 \]

Estudiando el signo a ambos lados de \(x=3\) vemos que hay un máximo relativo en ese punto.

Luego a las 12 de la noche estará el máximo número de clientes.

\( f(3)=60 \cdot 3 -10 \cdot 3^2 = 90 \) clientes máximos.

Ejercicio 8

El porcentaje de personas que sintoniza un programa de radio que se emite entre las 6 y las 12 horas viene dado, según la hora t, mediante la función:

\[ S(t)=660-231t+27t^2-t^3 \text{con } 6 \le t \le 12 \]

1. ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? ¿Y al cierre?

2. ¿A qué hora tienes máxima y mínima audiencia?

3. ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa a dichas horas?

Ejercicio 9 (C)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x)=x+e^{-x}\)

Determina crecimiento y extremos relativos de \(f\)

Determina la curvatura y puntos de inflexión de \(f\)

Ejercicio 10 (C)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)= \ln (x^2+1)\).

1. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función \(f\)

2. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de inflexión de abscisa negativa.

Retroalimentación

Actividad 1

Hallamos la derivada de la función:

\[f'(x)=\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}\]

El signo de \(f'\) solo depende del signo de \(x\), pues el denominador es siempre positivo. Por tanto, la función es decreciente en \( (- \infty,0) \) y creciente en \( (0,+\infty) \). Luego en el punto \((0,f(0))=(0,0)\) la función pasa de decreciente a creciente y hay por lo tanto un mínimo relativo.

Actividad 2

La derivada segunda es:

\[f''(x)=\displaystyle \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\]

y se anula en \(x=-1\) y en \(x=1\) (compruébalo tú).

Comprobamos que \(x=-1\) (que es el punto al que se refiere el apartado b.) es un punto de inflexión, estudiando el signo de la derivada segunda.

Para calcular la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa -1 utilizamos la ecuación:

\[y=mx+n\]

\[m=f'(a)=f'(-1)=-1\]

\[y=-x+n\]

Para calcular la \(n\) sustituimos el punto por donde pasa la tangente, el \((-1,f(-1)) = (-1,\ln 2)\)

\[\ln 2 = -(-1) +n \Rightarrow n= \ln 2 -1 = -0,31 \]

\[y=-x-0,31\]

Ejercicio 11 (C)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)=(x-3)e^x\)

Calcula los extremos relativos de \(f\) (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en su punto de inflexión.

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4. Ejercicios y aplicaciones

Ejercicio 6

Pregunta

Respuestas

Retroalimentación

Solución

Pregunta

Respuestas

Retroalimentación

Solución

Pregunta

Respuestas

Retroalimentación

Solución

Pregunta

Respuestas

Retroalimentación

Solución

Ejercicio 7

Retroalimentación

Apartado 1

Apartado 2

Apartado 3

Ejercicio 8

Retroalimentación

Apartado 1

Apartado 2

Ejercicio 9 (C)

Retroalimentación

Ejercicio 10 (C)

Retroalimentación

Actividad 1

Actividad 2

Ejercicio 11 (C)

Retroalimentación