3. Ejercicios

Retroalimentación

Paso 1

Queremos que la parcela sea rectangular, y claro un rectángulo depende de dos parámetros, el largo y el ancho. Pues bien, vamos a llamarle \(x\) e \(y\) a ambas medidas:

Esa sería más o menos la situación que tendríamos. Si te acuerdas, el área de un rectángulo se calcula multiplicando ambas medidas, es decir, \(A=x \cdot y\)

Pero claro, eso no es una función de la manera a la que estamos habituado pues tiene dos variables, la \(x\) y la \(y\), así que, lo que toca ahora es buscar una relación entre ellas dos de forma que podamos sustituir en el área y que ésta sólo dependa de un parámetro.

Todavía no hemos usado que disponemos 300 metros de valla, y como el lado del río no se valla, en total con esos 300 metros, tenemos que cubrir los dos lados que miden "\(x\)" y el lado que mide "\(y\)".

O sea, se tiene que cumplir que: \(x + x + y = 300\)

O lo que es lo mismo, \(2x + y = 300\)

Pues bien, si despejamos una de las incógnitas, por ejemplo la "\(y\)", nos queda: \(y = 300 - 2x\)

Para terminar, nos vamos al área y sustituimos la "\(y\)" por esa expresión:

\(A = x ·(300 - 2x)\) y multiplicando, \(A = 300x - 2x^2\)

Pues ya está, ya tenemos la función área a la que buscarle el máximo y que depende de una sola incógnita, el ancho "\(x\)" de la parcela rectangular, y es:

\[A(x)=300x-2x^2\]

Paso 2

Como acabamos de comentar, los máximos y mínimos relativos se alcanzan donde la derivada vale 0. Bueno, pues vamos a ver dónde ocurre eso.

\[A(x) = 300x - 2x^2 \Rightarrow A'(x)=300-4x \]

Ya tenemos la derivada, ahora la igualamos a cero y resolvemos la ecuación:

\[300 - 4x = 0 \Rightarrow x=75 \]

Ojo, todavía no podemos asegurar que \(75\) sea la solución óptima de nuestro problema, de momento, \(x = 75\) es candidato a ser máximo de la función.

Paso 3

Para determinar si \(x=75\) se trata de un máximo, necesitamos calcular la segunda derivada:

\[A'' (x) = 0 - 4 = - 4 \]

Si sustituimos el valor x = 75 en esa segunda derivada, obtenemos:

\(A''(75) = -4 \Rightarrow A''(75) < 0 \Rightarrow x=75 \) es un máximo relativo.

¿Cuál es el valor de ese área máximo? Pues nos vamos a la función y sustituimos la \(x\) por \(75\):

\[A(x) = 300x - 2x^2 \Rightarrow A(75) = 300·75 - 2·75^2 = 22500 - 11250 = 11.250 m^2\]

Pero ojo, un máximo relativo no tiene por que ser absoluto, es decir puede que haya otro máximo mejor, y eso lo vemos buscando en el dominio de la función y en el dominio real del problema o situación.

Nuestra función Área es un polinomio y por tanto el domino es \( (-\infty,+\infty) \), pero x indica la longitud de la anchura. Puesto que longitudes negativas no tienen sentido, el valor más pequeño que puede tener x es cero. Por otro lado, tenemos 300 metros de valla y dos lados de anchura que cubrir con la valla, así que como mucho, x podrá valer 150 m, pues si es más, ya nos pasamos de los 300 m.

Por tanto en el contexto del problema, el dominio de la función es \( [0 , 150]\). Bueno, pues vamos a evaluar la función en esos dos valores extremos:

\(A(0) = 300·0 - 2·0^2 = 0 m^2\). Lo que es totalmente lógico, pues si no le damos anchura tenemos una recta de 300 m y la superficie de una línea es 0.

\(A(150) = 300·150 - 2·150^2 =  45000 - 45000 = 0\), por idéntico motivo.

Por tanto, en ninguno de los dos extremos se mejora la solución, es más, estamos obteniendo los mínimos absolutos. Ahora sí, podemos afirmar entonces que \(x = 75\) es el máximo de la función, obteniéndose por tanto la parcela de superficie máxima si x vale 75  metros.

Si recuerdas, la relación entre largo y ancho era \(y= 300 - 2x\). Si \(x = 75\), nos sale que \(y = 150\), por tanto las dimensiones óptimas para la parcela son 150 m de largo y 75 de ancho. Con esas medidas obtenemos \(11.250 m^2\) para cultivar lechugas y coles.

Retroalimentación

Paso 1

Lo que queremos que sea mínimo es el área total de la lata, por tanto, vamos a empezar construyendo esa área:

El área total queda determinado por la suma del área lateral y el de las dos tapas. El área lateral es un rectángulo cuya altura es la altura del cilindro (\(h\)) y cuya base es la longitud de la circunferencia que da el borde, o sea, \(2 \cdot \pi \cdot r \). Luego el área lateral del cilindro es: \(A_l = 2\cdot \pi \cdot r \cdot h \)

Por otro lado, la base y la tapadera son sendos círculos y como recordarás, el área de un círculo es \( \pi \cdot r^2\)

Por tanto, el área total de la lata de refrescos es: \( A =2 \pi r h + 2 \pi r^2\)

Todavía no nos vale porque tenemos dos variables, el radio de la base, \(r\), y la altura del cilindro, \(h\), así que, hemos de poner una en función de la otra. Para ello, usamos el dato de que la lata ha de ser de un tercio de litro. Puesto que queremos relacionar unidades de volumen con longitudes o áreas, el volumen lo tenemos que expresar en unidades cúbicas, o sea, \(m^3\), \(cm^3\), etc., así que como dato, usaremos que el volumen de la lata es \(333 cm^3\)

El volumen de un cilindro se calcula a partir de la fórmula \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h \), (área de la base por la altura). Por tanto, ha de ser,

\[\pi \cdot r^2 \cdot h = 333\]

Puesto que es más fácil despejar la altura, (si despejas r, habría que poner raíz cuadrada), nos queda que: 

\[h= \displaystyle \frac {333}{\pi \cdot r^2}\]

Sustituyendo en el área total, nos queda:

\[A(r)= 2 \pi r \displaystyle \frac {333}{\pi \cdot r^2}+2\pi r ^2 =\displaystyle \frac {666}{ r}+2\pi r ^2 \]

Paso 2 

Tenemos que tener en cuenta que la función es a su vez suma de dos partes y que la variable es r. Derivando obtenemos:

\[A'(r)=- \displaystyle \frac {666}{ r^2}+4 \pi r \]

Igualamos a cero la derivada para buscar los puntos candidatos a extremo relativo:

\[A'(r)=0 \Rightarrow - \displaystyle \frac {666}{ r^2}+4 \pi r =0 \Rightarrow r=3,76 \]

Paso 3

Vamos a comprobar que efectivamente ese valor de \(r\) es un mínimo, para ello, calculamos la segunda derivada, sustituimos ese valor y debe de salirnos un resultado positivo.

Derivando el resultado obtenido en la primera derivada, obtenemos que la segunda derivada es:

\[A''(r)=\displaystyle \frac {1332}{ r^3}+4 \pi \]

Sustituyendo el valor de r obtenido anteriormente:

\[A''(3,76)=\displaystyle \frac {1332}{ 3,76^3}+4 \pi = 37,9 >0 \]

Como puedes ver, una cantidad positiva, por tanto, ese valor es un mínimo relativo.

Además, sustituyendo en la función área, tenemos que el área asociado a ese valor de \(r\) es: \(265,91 cm^2\)

Ahora bien, ¿puede haber otro valor mínimo? La respuesta es no, pues el radio tiene que ser una cantidad positiva (\( >0 \)) y puede ser todo lo grande que queramos, sería cuestión de estrechar la lata. El dominio real de nuestra función área total es el intervalo \( (0,+\infty)\). Luego no puede haber otro mínimo aparte del relativo al no ser un intervalo cerrado.

Así pues, \(r= 3,76\) cm es el radio de la lata de mínimo coste, y sustituyendo donde habíamos despejado la altura, obtenemos que la altura es:

\(h= \displaystyle \frac {333}{\pi \cdot r^2} =\displaystyle \frac {333}{\pi \cdot 3,76^2} =7,5 \) cm

Luego la mejor lata de un tercio de litro que podemos construir es la que mide aproximadamente \(3,76\) cm de radio y \(7,5\) cm de altura.

Y ahora vete al frigo y mide una lata, a ver si varía mucho. Si lo crees necesario puedes llamar al fabricante y decirle que aún puede ganar más.

Retroalimentación

Applet modificado del original de Manuel Sada bajo licencia Creative Commons.