3. Propiedades básicas de las funciones

Llamaremos dominio de una función al conjunto de valores que toma la variable independiente.

Gráficamente, para saber el dominio de una función, nos fijamos en el eje horizontal, y el dominio serán todos los valores de la variable x para los que exista imagen. El dominio de una función se indica en forma de intervalo o entre llaves.

\( Dom(f)=[-2,2] \), es decir, el dominio de la función son todos los valores que están entre -2 y 2 con -2, y 2 incluidos. 

El recorrido de una función (también llamado imagen de la función) es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, es decir, los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. 

El recorrido también se expresa en forma de intervalo. En este caso concreto, diremos que:

\( Rec(f) = Im(f) = [0,4] \)

Cuando nos piden estudiar la monotonía de una función, nos preguntan por el estudio del crecimiento y el decrecimiento de una función.

Una función es creciente en un tramo si, al aumentar la variable independiente x, aumenta también la variable dependiente y.

Una función es decreciente en un tramo si, al aumentar la variable independiente x, aumenta también la variable dependiente y.

Observa que aumentar la variable independiente, se traduce en leer la gráfica de izquierda a derecha.

El crecimiento y el decrecimiento también se expresa en intervalos. En este caso concreto, sería:

Creciente en \( (-2,-1) \cup (1,2) \)

Decreciente en \( (-1,1) \)

Al dar los intervalos de crecimiento y decrecimiento los extremos nunca están incluidos.

Una función tiene un máximo en un punto si cuando a la izquierda de ese punto la función es creciente  y a la derecha decreciente. Si sucede al contrario (a la izquierda es decreciente y a la derecha creciente), entonces tenemos un mínimo.

Si el máximo es el punto más alto de la función, decimos que es un máximo absoluto. En caso contrario decimos que es relativo.

Si el mínimo es el punto más bajo de la función, decimos que es el mínimo absoluto. En caso contrario decimos que es relativo.

Los puntos iniciales y finales de una función nunca pueden ser considerados como extremos relativos, aunque sí contarán al determinar los extremos absolutos de la función.

Una función puede (no es obligatorio) cortar al eje horizontal en muchos puntos, sin embargo, al eje vertical solo puede hacerlo en uno.

Los puntos de corte con el eje OX son de la forma \( (a,0) \)

El punto de corte con el eje OY es de la forma \( (0,b) \)