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1. Interpolación

Importante

Conocidos dos puntos por los que pasa una recta, \( A(x_1 , y_1) \) y \( B(x_2 , y_2) \) podemos calcular la función lineal que definen mediante esta expresión:

\[\displaystyle \frac {x-x_1}{x_2-x_1}=\displaystyle \frac {y-y_1}{y_2-y_1} \]

Ejemplo

Calcular la recta que pasa por los puntos \(A(1,3)\) y \(B(2,-5)\) y determina la pendiente de dicha recta

\[ \displaystyle \frac {x-1}{2-1}=\displaystyle \frac {y-3}{-5-3} \Rightarrow \displaystyle \frac {x-1}{1}=\displaystyle \frac {y-3}{-8} \Rightarrow -8(x-1)=y-3 \Rightarrow -8x-y=-11 \]

Para calcular la pendiente de la recta tenemos que despejar la variable \(y\) y quedarnos con el coeficiente de la \(x\):

\[ -8x-y=-11 \Rightarrow -y=8x-11 \Rightarrow y=-8x+11\Rightarrow m=-8\]

Ejercicio 1

Calcula la ecuación de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos:

  1. \( A(2 , 5) \hspace{20px} B(4 , -1) \)
  2. \( A(3 , -4) \hspace{20px}  B(-2 , 3)\)
  3. \( A(-1 , 2) \hspace{20px}  B(2 , 2)\)

Importante

Dados tres puntos \( A(x_1, y_1) \hspace{10px} B(x_2, y_2) \hspace{10px}  C(x_3 , y_3)\) se dice que están alineados si C pertenece a la recta que pasa por los puntos A y B.

Ejercicio 2

Indica si se encuentran alineados los puntos: \( A(-1,2) \hspace{10px} B(2,9) \hspace{10px} C(5,15) \)

Importante

Interpolación es un proceso mediante el cual, a partir de ciertos datos conocidos, y sabiendo el tipo de función que los relaciona, podemos realizar averiguaciones sobre situaciones similares.

Ejemplo

En un folleto informativo de cierta inmobiliaria presentan la siguiente información:

Venta de pisos desde 60000 € hasta 120000 €. El edificio tiene 16 plantas y los precios se encarecen con la altura de manera proporcional. Luego la planta 1 cuesta 60000 €  y la 16 cuesta 120000 €.

  1. ¿Cuál es la función lineal definida para los pisos de la 1ª y 16?
  2. Si estás interesado en un piso entre el 5º y el 8º. ¿Qué precio estiman que les puede costar?

Para determinar la función lineal, la recta que integra la información de los pisos 1 y 16 tendremos que calcular la recta que pasa por los puntos \( A(1,60000)  \hspace{20px} B(16,120000) \):

\[  \begin{array}{l}
\displaystyle \frac {x-1}{16-1}=\displaystyle \frac {y-60000}{120000-60000} \Rightarrow \displaystyle \frac {x-1}{15}=\displaystyle \frac {y-60000}{60000} \Rightarrow 60000(x-1)=15(y-60000) \Rightarrow \\
\Rightarrow 60000x-15y=-840000 \Rightarrow 4000x-y=-56000 \end{array}\]

\(x=5 \Rightarrow 4000·5-y=-56000 \Rightarrow y=76000 \) euros.

\(x=8 \Rightarrow 4000·8-y=-56000 \Rightarrow y=88000 \) euros

Importante

A la diferencia entre el valor real \( (y^*)\) y el estimado \((y)\) se le llama error de interpolación.

Ejemplo

En la siguiente tabla aparecen los habitantes de la provincia de Badajoz:

Año 2005 2007
Nº habitantes 671299 678459
  1. ¿Qué población se calcula que tenía en el 2006?
  2. Después de realizar el cálculo mediante interpolación lineal, consultamos los datos del INE y comprobamos que realmente el número de habitantes de ese año fue de 673.474. ¿Qué error absoluto de interpolación hemos cometido?

Para calcular la población de 2006 haremos la interpolación entre 2005 y 2007:

\( A(2005,671299 ) \hspace{40px} B(2007,678459) \)

\[ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac {x-2005}{2007-2005}=\displaystyle \frac {y-671299}{678459-671299} & \Rightarrow \displaystyle \frac {x-2005}{2}=\displaystyle \frac {y-671299}{7160} \Rightarrow \\
&\Rightarrow 7160(x-2005)=2(y-671299) \Rightarrow \\
&\Rightarrow 7160x-2y=13013202
\end{array}\]

\( x=2006 \Rightarrow 7160·2006-2y=13013202 \Rightarrow  14362960 -2y = 13013202 \Rightarrow y=674879 \) habitantes.

Luego el error absoluto de interpolación = \( |y^* -y| = |673474-674879|=|-1405|=1405 \)

Importante

Cuando se realiza una estimación para valores que se encuentran fuera del rango (mayores que el máximo o menores que el mínimo) de los datos que poseemos, el proceso se denomina extrapolación.

Ejemplo

Se sabe que el gasto en educación en España fue:

Año 2015 2016 2017
Gasto en educación
Millones de euros		 2273 2484 2524

¿Qué gasto se espera en educación en los años 2014 y 2018?

Paso 1

Para 2014 interpolamos con los datos de 2015 y 2016

\( A(2015,2273) \hspace{40px} B(2016,2484) \)

\[ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac {x-2015}{2016-2015}=\displaystyle \frac {y-2273}{2484-2273} & \Rightarrow \displaystyle \frac {x-2015}{1}=\displaystyle \frac {y-2273}{211} \Rightarrow \\
&\Rightarrow 211x-y=422892
\end{array}\]

\( x=2014 \Rightarrow 211·2014-y=422892 \Rightarrow  424954 -y = 422892 \Rightarrow y=2062 \) millones.

Paso 2

Para 2018 interpolamos con los datos de 2016 y 2017

\( A(2016,2484) \hspace{40px} B(2017,2524) \)

\[ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac {x-2016}{2017-2016}=\displaystyle \frac {y-2484}{2524-2484} & \Rightarrow \displaystyle \frac {x-2016}{1}=\displaystyle \frac {y-2484}{40} \Rightarrow \\
&\Rightarrow 40x-y=78156
\end{array}\]

\( x=2018 \Rightarrow 40·2018-y=78156 \Rightarrow  80720 -y = 78156 \Rightarrow y=2564 \) millones.