1. Concepto de límite

El concepto de límite en funciones es muy importante; intuitivamente se trata de analizar el comportamiento de una función (valor \(y\)) cuando la \(x\) se acerca a determinado valor o cuando la \(x\) se hace muy grande o muy pequeña. Veamos esto en primer lugar con un ejemplo:

En las cocinas de las casetas de feria, es importantísimo cuidar la seguridad en la manipulación de los alimentos. A nuestra caseta de feria ha llegado una partida de carne, y previendo que no se va a gastar en ese día, se meten en el congelador que tenemos allí. Se congelan a dos grados bajo cero y al cabo de las 14 horas se saca y se guardan en una nevera que mantiene algo el frío para que al cabo de unas ocho horas está en condiciones de poderse usar.

La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura a la que se encuentran las cajas según va pasando el tiempo:

¿Qué ocurre si miramos alrededor de las 14 horas?

Si nos acercamos a las 14 horas, vemos que la temperatura se acerca a -2 ºC. Fíjate que estamos diciendo si nos acercamos a 14, es decir, estamos mirando a lo que se va acercando la función si nos movemos alrededor de ese punto.

Esta es la idea de límite, ver a lo que se acerca la función cuando la variable x se acerca al punto. En matemáticas esto lo escribimos así:

\[ \displaystyle \lim_{x \to 14} f(x) =-2 \]

¿Y de las 22 horas?

 A las 22 horas de sacar la carne ocurre algo similar, si nos acercamos a 22 en el eje de las x, la función se acerca a 8ºC, así que:

\[ \displaystyle \lim_{x \to 22} f(x) =8 \]

¿Y si dejamos la caja en esa segunda nevera indefinidamente?

En las dos cuestiones anteriores puedes pensar que vaya tontería, que miramos el punto y ya está, pero en la tercera eso ya no es posible, pues hablamos de dejarlo indefinidamente, ¿y qué valor es indefinidamente? No lo sabemos, pero si observas con detenimiento, puedes ver que la función se va acercando cada vez más a 10ºC.

En este caso hablamos de límite en el infinito, pues no estamos observando lo que ocurre en un punto concreto sino lo que ocurre con la función cuando nos alejamos en el tiempo. Lo escribimos así:

\[ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } f(x) =10 \]

En el límite de una función en un punto \(x_0\), sólo intervienen las imágenes de los puntos próximos a \(x_0\), pero no la de dicho punto. Es más, la función en \(x_0\) puede tomar cualquier valor, o incluso no estar definida.

Se llama límite lateral por la izquierda de la función \(f\) en el punto \(x_0\), al valor al que tiende la función cuando los valores de \(x\) que se aproximan a \(x_0\) son menores que \(x_0\). Lo expresamos con un signo - sobre el punto:

\[ \displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) \]

Se llama límite lateral por la derecha de la función f en el punto \(x_0\), al valor al que tiende la función cuando los valores de \(x\) que se aproximan a \(x_0\) son mayores que \(x_0\). Lo expresamos con un signo + sobre el punto:

El límite de una función en un punto existe si los dos límites laterales existen y coinciden.