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5. Indeterminación \( \displaystyle \frac {k}{0} \)

Importante

Es probable que en alguna ocasión hayas intentado en tu calculadora dividir alguna cantidad por el número cero. Si no lo has hecho hazlo ahora, divide algún número entre cero. ¿Qué ocurre? ¿qué te muestra?

Efectivamente, tu calculadora es incapaz de dividir por cero porque sencillamente no se puede hacer, no existe.

Eso sí, que no se pueda dividir por cero no significa que no podamos plantearnos lo que sucede en torno al cero, cuando nos acercamos a él. Es lo que vamos a hacer, estudiar lo que ocurre en las inmediaciones del cero, veamos la indeterminación \( \displaystyle \frac{k}{0} \)

Cuando en el cálculo de un límite nos aparezca esta indeterminación, la forma de proceder es calculando los límites laterales.

Ejercicio 8

\[ \displaystyle \lim_{x \to 1} \displaystyle \frac{2x+4}{x-1} = \left ( \displaystyle \frac{6}{0} \right ) \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l}
\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \displaystyle \frac{2x+4}{x-1} =\left ( \displaystyle \frac{+}{-} \right ) \infty =-\infty \\
\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \displaystyle \frac{2x+4}{x-1} =\left ( \displaystyle \frac{+}{+} \right ) \infty =+\infty
\end{array} \right \} \Rightarrow \not\exists \displaystyle \lim_{x \to 1} \displaystyle \frac{2x+4}{x-1} \]

En este tipo de límites de funciones racionales con indeterminación \(\displaystyle \frac{k}{0} \) los laterales siempre saldrán de tipo \( \infty\). Solo queda determinar el signo. Para ello, sustituimos un número muy cercano a 1 en este caso, por la izquierda y la derecha para hacerlo.

Ejercicio 9

Calcular los siguientes límites de funciones:

\[ \text {a)} \hspace{10px} \displaystyle \lim_{x \to 0} \displaystyle \frac{2}{x} \hspace{40px} \text {b)} \hspace{10px} \displaystyle \lim_{x \to 2} \displaystyle \frac{x+1}{x^2+x-6} \]