2. Asíntotas verticales
Importante
Una función \(f(x)\) tiene una asíntota vertical en \(x = a\) si
\[ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)= \pm \infty\] |
Calculemos las asíntotas verticales de la función \( f(x)= \displaystyle \frac {x}{x-3} \)
1. Anulemos el denominador: \( x-3=0 \Rightarrow x=3 \)
2. Calculamos los límites de la función en \(x= 3\):
\[ \displaystyle \lim_{x \to 3 ^-}\displaystyle \frac {x}{x-3}=-\infty \]
\[ \displaystyle \lim_{x \to 3 ^+}\displaystyle \frac {x}{x-3} =+\infty \]
Luego la función \( f(x)= \displaystyle \frac {x}{x-3} \) tiene una asíntota vertical en \(x = 3\)
Ejercicio 01
Determina las asíntotas verticales de la función \( f(x)= \displaystyle \frac {x-2}{x^2-1} \)
Ejercicio 02
Nos podemos preguntar si toda función racional tiene asíntotas verticales. La respuesta es no y veremos un caso para confirmar esta afirmación.
Calculemos las asíntotas de la función \( f(x)= \displaystyle \frac{x}{x^2+1}\)
Para ello, tan solo calculamos las soluciones de la ecuación \(x^2+1=0\)
Las soluciones de dicha ecuación serán \( x= \displaystyle \frac {\pm \sqrt {-4}}{2} \). Al no existir la raíz de \(-4\), la ecuación no tiene soluciones y, por tanto, la función no tiene asíntotas verticales.
Ejercicio 03
Retroalimentación
Falso
\(x= -1\) no puede ser solución de la función indicada, ya que la única solución de \(1-x =0\) es \(x=1\)
En general las asíntotas verticales suelen aparecer entre los puntos que no pertenecen al dominio de la función.
En ocasiones, al acercarnos a un punto por la izquierda o por la derecha, la función crece indefinidamente.
¿Cómo saber donde buscar la asíntota vertical?
- Si es una función polinómica, no tiene asíntotas de ningún tipo.
- Si es una función racional, como vimos en el apartado anterior, tendremos que buscar en las raíces del denominador.
- Otra función que tiene asíntota vertical es la función logarítmica, más concretamente, en los puntos extremos de los intervalos donde empieza el dominio.
y=ln(x) |
El logaritmo tiene una asíntota vertical x=0
|
Ejercicio 04
Calcula, en caso de tenerlas, las asíntotas verticales de las siguientes funciones:
\( f(x)= \displaystyle \frac {x^2}{x-2}\hspace{40px} g(x)= \displaystyle \frac {x^2}{x^2+1}\hspace{40px} h(x)= \ln (x-1) \)
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