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2. Asíntotas verticales

Importante

Una función \(f(x)\) tiene una asíntota vertical en \(x = a\) si

 

\[ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)= \pm \infty\]
 
Para calcular las asíntotas de \(f(x)\), determinamos aquellos valores para los que se anula el denominador y posteriormente analizamos los límites laterales de dicha función en ese punto.

Calculemos las asíntotas verticales de la función \( f(x)= \displaystyle \frac {x}{x-3} \)

1. Anulemos el denominador: \( x-3=0 \Rightarrow x=3 \)

2. Calculamos los límites de la función en \(x= 3\):

\[ \displaystyle \lim_{x \to 3 ^-}\displaystyle \frac {x}{x-3}=-\infty \]

\[ \displaystyle \lim_{x \to 3 ^+}\displaystyle \frac {x}{x-3} =+\infty \]

Luego la función \( f(x)= \displaystyle \frac {x}{x-3} \) tiene una asíntota vertical en \(x = 3\)

Ejercicio 01

Determina las asíntotas verticales de la función \( f(x)= \displaystyle \frac {x-2}{x^2-1} \)

Ejercicio 02

Pregunta

Hallas las asíntotas verticales de la función \(f(x)= \displaystyle \frac {x^2+1}{3x} \)

Respuestas

\(x=1\)

\(x=1\) y \(x=-1\)

\(x=0\)

No tiene asíntotas verticales

Retroalimentación

Nos podemos preguntar si toda función racional tiene asíntotas verticales. La respuesta es no y veremos un caso para confirmar esta afirmación.

Calculemos las asíntotas de la función \( f(x)= \displaystyle \frac{x}{x^2+1}\)

Para ello, tan solo calculamos las soluciones de la ecuación \(x^2+1=0\)

Las soluciones de dicha ecuación serán \( x= \displaystyle \frac {\pm \sqrt {-4}}{2} \). Al no existir la raíz de \(-4\), la ecuación no tiene soluciones y, por tanto, la función no tiene asíntotas verticales.

 

Ejercicio 03

Pregunta 1

La función \( f(x)= \displaystyle \frac {x^2-x-4}{1-x}\) tiene una asíntota vertical en \(x = -1\)

Sugerencia

Determina las soluciones de la ecuación \(x-1 = 0\)

En general las asíntotas verticales suelen aparecer entre los puntos que no pertenecen al dominio de la función.

En ocasiones, al acercarnos a un punto por la izquierda o por la derecha, la función crece indefinidamente.

¿Cómo saber donde buscar la asíntota vertical?

  • Si es una función polinómica, no tiene asíntotas de ningún tipo.
  • Si es una función racional, como vimos en el apartado anterior, tendremos que buscar en las raíces del denominador.
  • Otra función que tiene asíntota vertical es la función logarítmica, más concretamente, en los puntos extremos de los intervalos donde empieza el dominio.
y=ln(x)

El logaritmo tiene una asíntota vertical x=0

Ejercicio 04

Calcula, en caso de tenerlas, las asíntotas verticales de las siguientes funciones:

\( f(x)= \displaystyle \frac {x^2}{x-2}\hspace{40px} g(x)= \displaystyle \frac {x^2}{x^2+1}\hspace{40px} h(x)= \ln (x-1) \)