5. Aplicaciones

Ejercicio 11

SELECTIVIDAD - JUNIO 2010 - ANDALUCÍA

b) (1 punto) Halle las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de la función:

\[ h(x)=\displaystyle \frac {1+2x}{x-2}\]

Retroalimentación

1. ASÍNTOTAS VERTICALES

Debemos buscarlas entre los puntos que anulan el denominador de la función:

\(x-2=0 \Rightarrow x=2\) estudiemos los límites laterales:

\[ \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \displaystyle \frac {1+2x}{x-2} = \left ( \displaystyle \frac {5}{0} \right ) = - \infty \]

\[ \displaystyle \lim_{x \to 2^+} \displaystyle \frac {1+2x}{x-2} = \left ( \displaystyle \frac {5}{0} \right ) = + \infty \]

Luego la función tiene asíntota vertical en \( x=2\)

2. ASÍNTOTAS HORIZONTALES

Al tener la función racional en mismo grado en numerador y denominador, tendrá asíntota horizontal y NO tendrá oblícua:

\[ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac {1+2x}{x-2} = \displaystyle \frac {2}{1} = 2 \]

Luego la función tiene una asíntota horizontal en \( y=2\)

3. CORTE CON LOS EJES

\[ x=0 \Rightarrow y=- \displaystyle \frac {1}{2} \Rightarrow \left ( 0, - \displaystyle \frac {1}{2} \right )\]

\[ y=0 \Rightarrow \displaystyle \frac {1+2x}{x-2}=0 \Rightarrow 1+2x =0 \Rightarrow x=- \displaystyle \frac {1}{2} \Rightarrow \left ( - \displaystyle \frac {1}{2} ,0 \right )\]

captura

Ejercicio 12

Calcular todas las asíntotas de la función: \( f(x)= \displaystyle \frac {x^2+2x+1}{x+2} \)

Retroalimentación

1. ASÍNTOTAS VERTICALES

Debemos buscarlas entre los puntos que anulan el denominador de la función:

\(x+2=0 \Rightarrow x=-2\) estudiemos los límites laterales:

\[ \displaystyle \lim_{x \to -2^-} \displaystyle \frac {x^2+2x+1}{x+2} = \left ( \displaystyle \frac {1}{0} \right ) = - \infty \]

\[ \displaystyle \lim_{x \to -2^+} \displaystyle \frac {x^2+2x+1}{x+2} = \left ( \displaystyle \frac {1}{0} \right ) = + \infty \]

Luego la función tiene asíntota vertical en \( x=-2\)

2. ASÍNTOTAS OBLICUAS

Al tener la función racional un numerador de grado una unidad mayor que el denominador, tendrá asíntota oblicua y NO tendrá horizontal:

\[ m= \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\displaystyle \frac {\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+2}}{x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2+2x} = 1 \]

\[ \begin{array}{ll} n&= \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left [ \displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+2} - x \right ]= \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{x^2+2x+1-x(x+2)}{x+2} = \\
&=\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{x^2+2x+1-x^2-2x}{x+2} =\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{1}{x+2} = 0 \end{array}\]

Luego la función tiene una asíntota horizontal en \( y=x\)

captura

Ejercicio 13

En una empresa montan ordenadores en cadena. Han contratado a un nuevo empleado para la sección de discos duros. En esta sección el número de montajes realizados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrenamiento según la función:

\( N(t)=\displaystyle \frac {32t}{t+3} \), donde \(t\) viene expresado en días

(a) ¿Cuántos montajes hará el primer día? ¿y el noveno? ¿y al cabo de 30 días? ¿Y a los dos meses?

(b) Si el empleado tiene un contrato indefinido, ¿cuántos ordenadores será capaz de montar por término medio cuando lleve varios años en la empresa?

Ejercicio 14

captura

Un grupo de una especie en peligro de extinción se introduce en un parque para intentar su recuperación. Los estudios apuntan a que la población aumenta según la siguiente función:

\[ y=5+\displaystyle \frac {308x^2}{x^2+365}\]

\( y = \) Número de individuos

\( x = \) Tiempo en años

1. Si la población crítica a partir de la cual se considera que la repoblación ha tenido éxito se logra cuando se superan los 50 ejemplares, calcula cuándo se alcanza dicho nivel.

2. ¿Cuál es el comportamiento de la población para \( t= 60, 70, 80\) y \(90 \) años? ¿Qué conclusiones puedes sacar de estos resultados?

3. ¿Qué crees que ocurrirá en el futuro?

Retroalimentación

1. Como la variable que representa el número de ejemplares es la \(y\) y el tiempo es la \(x\), tendremos que hacer:

\[ \begin{align*} 50=5+\displaystyle \frac {308x^2}{x^2+365} &\Rightarrow 45=\displaystyle \frac {308x^2}{x^2+365} \Rightarrow \\
&\Rightarrow 45(x^2+365)=308x^2 \Rightarrow 45x^2-308x^2=-16425 \Rightarrow \\
& \Rightarrow -263 x^2 = -16425 \Rightarrow x^2 = 62,45 \Rightarrow x=7,9\end{align*} \]

Luego el nivel se alcanzará casi a los 8 años desde la reinserción.

2. \( x= 60 \Rightarrow y=5+\displaystyle \frac {308·60^2}{60^2+365} = 284,65 \) individuos.

\( x= 70 \Rightarrow y=5+\displaystyle \frac {308·70^2}{70^2+365} = 291,65 \) individuos.

\( x= 80 \Rightarrow y=5+\displaystyle \frac {308·80^2}{80^2+365} = 296,38 \) individuos.

\( x= 90 \Rightarrow y=5+\displaystyle \frac {308·90^2}{90^2+365} = 299,72 \) individuos.

Da la impresión que con el paso de los años, el número de ejemplares se acerca y estabiliza en torno a los 200 individuos.

3. Para determinar lo que ocurrirá exactamente en el futuro debemos calcular el límite cuando la x tiende a infinito:

\[ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( 5+\displaystyle \frac {308x^2}{x^2+365} \right ) = 5+\displaystyle \frac {308}{1}=313\]

Luego la conclusión que obtuvimos en el apartado anterior no es acertada. En realidad, en el futuro, la población no pasará de 313 ejemplares.

Por ejemplo, si hacemos \( x= 1000 \Rightarrow y=5+\displaystyle \frac {308·1000^2}{1000^2+365} = 312,89 \) individuos.

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento No comercial Sin obra derivada 4.0

« Anterior | Siguiente »

Material creado a partir de contenidos disponibles en la Consejería de Educación de la Junta de Andalucía bajo licencia Creative Commons
Mi especial agradecimiento al profesorado del IEDA por su labor en el desarrollo y mantenimiento de estos materiales
Aníbal de la Torre