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4. Propiedades de las razones trigonométricas

Importante

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos \(\alpha\) y \( \beta\)

\[ \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta \]

\[ \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta \]

\[ \tan ( \alpha + \beta ) = \displaystyle \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta} \]

 

Veamos ahora las fórmulas análogas a las anteriores para la diferencia de dos ángulos.

\[ \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta \]

\[ \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \]

\[ \tan ( \alpha - \beta ) = \displaystyle \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta} \]

Ejercicio 04

1. Calcula a partir de las razones trigonométricas de 30º, 45º, 60º y 90º las razones trigonométricas de 75º, 120º, 150º, 105º y 135º.

2. Comprueba que las razones trigonométricas de 90º se pueden obtener a partir de las razones trigonométricas de 30º y de 60º.

3. Calcula a partir de las razones trigonométricas de 30º, 45º, 60º y 90º las razones trigonométricas de 15º.

4. Comprueba que las razones trigonométricas de 30º se pueden obtener a partir de las razones trigonométricas de 90º y de 60º.

Ángulo doble y mitad

Las razones trigonométricas del ángulo doble:

\[ \sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \]
\[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha  \]
\[ \tan 2\alpha = \displaystyle \frac{ 2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha } \]
 

Las razones trigonométricas del ángulo mitad:

\[ \sin \displaystyle \frac {\alpha}{2}  = \pm \sqrt{\displaystyle \frac{1-\cos \alpha}{2}} \]
\[ \cos \displaystyle \frac {\alpha}{2}  = \pm \sqrt{\displaystyle \frac{1+\cos \alpha}{2}} \]
\[ \tan \displaystyle \frac {\alpha}{2}  = \pm \sqrt{\displaystyle \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} \]

Ejercicio 05

1. Calcula las razones trigonométricas de 22’5º y 11’25º a partir de las razones trigonométricas de 45º.

2. Comprueba que las razones trigonométricas de 45º se pueden obtener a partir de las razones trigonométricas de 90º.

3. Calcular sen(3a) en función únicamente de las razones trigonométricas del ángulo a.