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2.4. Producto escalar

Nada es lo que parece en matemáticas. Todo es natural en esta ciencia exacta pero, de vez en cuando, ocurren cosas que uno no espera hasta tal punto que podíamos catalogarlas como mutaciones.

mutacion por luis perez, en Flickr
Imagen de luis perez con licencia by-sa-2.0-deed

 

Todas las operaciones que hemos visto en la sala de operaciones han dado como resultado un nuevo vector. La suma y la resta de vectores y la multiplicación de un vector por un número, dan como resultado un nuevo vector.

Pero, ésto no siempre es así. Vamos a tratar a continuación una operación en la que a partir de multiplicar dos vectores, obtenemos un número (un escalar), no un vector. De ahí que se conozca precisamente con el nombre de producto escalar, porque el resultado del producto es un escalar.

Importante

· El producto escalar de dos vectores \( \overrightarrow u =(u_1,u_2) \text { y } \overrightarrow v =(v_1,v_2) \) es un número. La fórmula que permite calcular su valor es:

\[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = |\overrightarrow u| \cdot |\overrightarrow v| \cdot \cos \left (\overrightarrow u,\overrightarrow v \right ) \]

 

donde \(|\overrightarrow u| \text { y } |\overrightarrow v|\) son los módulos de los dos vectores y \( \cos \left (\overrightarrow u,\overrightarrow v \right ) \) indica el coseno del ángulo que forman los orígenes de ambos vectores.

· La fórmula anterior permite obtener el ángulo que forman, conocidas las coordenadas de los dos vectores, simplemente despejando:

\[ \cos \left (\overrightarrow u,\overrightarrow v \right ) = \frac{\overrightarrow u \cdot\overrightarrow v}{|\overrightarrow u| \cdot|\overrightarrow v|}\]

· Analíticamente, si conocemos las componentes (coordenadas) de los vectores, el producto escalar se obtiene como sigue: 

\[\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v=u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 \]

Ejercicio 09

Pregunta

(1) Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar vale 0.

Sugerencia

Puedes apoyarte en el applet de Geogebra, probando con los vectores ortogonales que tú elijas. Ello te ayudará a decidir la respuesta.

Respuestas

Verdadero

Falso

Retroalimentación

Pregunta

(2) El producto escalar de \( \overrightarrow u =(2,-1) \text { y } \overrightarrow v =(1,-5)\) es igual a 8.

    Sugerencia

    Configura el applet de Geogebra con estos vectores y te ayudará a obtener la respuesta.

    Respuestas

    Verdadero

    Falso

    Retroalimentación

    Pregunta

    (3) El producto escalar de \( \overrightarrow u =(-5,-1) \text { y } \overrightarrow v =(2,3)\) es igual a -13 y el ángulo que forman vale 135º

    Respuestas

    Verdadero

    Falso

    Retroalimentación

    Importante

    Algunas propiedades interesantes del producto escalar son:

    • Dos vectores, no nulos, \( \overrightarrow u (u_1,u_2) \text { y } \overrightarrow v =(v_1,v_2) \) son perpendiculares, si y solo si su producto escalar vale 0. Es decir, \(u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2=0 \)

    Para calcular las coordenadas del punto medio, \(M=(m_1,m_2)\), del segmento cuyos extremos son los puntos \(A=(a_1,a_2)\) y \(B=(b_1,b_2)\) basta con aplicar la siguiente fórmula:

    \[ (m_1,m_2)=\left ( \frac {a_1+b_1}{2},\frac {a_2+b_2}{2} \right ) \]

    Punto medio de un segmento

    En esta escena de Geogebra puedes trabajar el punto medio de un segmento en el plano.

    Practica

    Podrás practicar aún más con los apuntes y ejercicios resueltos disponibles en la web de Vitutor.