2. Distancia entre un punto y una recta
"Sinuhé avanzaba por una zona desértica. Hacía tiempo que no se encontraba con nadie, y todo por intentar atajar distancias. Se decidió a alcanzar un sendero conocido que se encontraba al sur de su posición y conseguir algo de comida y agua, pero ¿cuál sería el camino más corto?
Recordó que dicho camino seguía una dirección sur-este. Por tanto Sinué miró la posición del sol y se decidió a avanzar en dirección sur-oeste ¿habría hecho una buena elección?"
Mira la imagen de abajo. Se trata de un plano de la ciudad de Barcelona, concretamente de la Avenida Diagonal. Si desde la glorieta donde está la cruz roja queremos llegar a la Calle de Aragón (la línea amarilla), tenemos varias opciones, marcadas a la derecha con líneas verdes. Si nos preguntamos qué distancia hay desde la glorieta a la Calle de Aragón, ¿qué camino elegirías para medir? Es evidente que el más corto, y como puedes ver, el camino más corto se obtiene siguiendo una recta perpendicular a la que tenemos.
¿Y, cómo conseguimos una recta perpendicular? Está claro que necesitamos un punto, aquel de donde partimos, y un vector, que debe ser perpendicular a la recta, y por tanto a su vector director.
Importante
Si tenemos una recta \(r\), que tiene por vector director \( \vec u =(a,b)\). Llamaremos vector normal a la recta, a cualquier vector perpendicular al vector director.
Por ejemplo, \(\vec n =(-b,a) \) podría ser un vector normal de la recta, porque el producto escalar con \(\vec u \) es cero.
Por tanto, para medir la distancia de un punto \(P\) a una recta \(r\), el procedimiento más intuitivo sería:
- calcular la ecuación de una recta \(s\) perpendicular a \(r\) que pase por \(P\)
- hallar el punto \(Q\) donde se cortan \(r\) y \(s\)
- medir la distancia de \(P\) a \(Q\), que es la medida del módulo del vector \( \vec {PQ} \)
En esta escena de Geogebra puedes ver un ejemplo. Para ello, pulsa el botón Reproduce:
Importante
No es necesario dar todos esos pasos para calcular la distancia de un punto a una recta ya que disponemos de una fórmula.
Si tenemos un punto \(P = (x_0, y_0)\) y una recta \(r \equiv Ax+By+C=0\), la distancia de \(P\) a \(r\) viene dada por:
| \[d(P,r)=\displaystyle \frac {|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt {A^2+B^2}}\] |
AV - Pregunta de Elección Múltiple
Solución
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