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3. Lugares geométricos

"Sinuhé se acercó al Nilo, donde un pescador desembarcaba la captura del día.

- Buena pesca. - dijo Sinuhé - ¿cómo es posible que un único pescador obtenga esta cantidad?

- Gracias a mis redes. - respondió el pescador - Dos extremos los ato en la orilla, y el tercero lo llevo en la barca hasta que llego a aquella estaca que hay en medio del río. Con ello cubro una superficie de unos 80 m2.

El pescador se alejó. Sinuhé pensó que debía ser un buen pescador al haber ideado aquella técnica, pero no estaba muy seguro de que su cálculo fuera exacto."

Ejemplo o ejercicio resuelto

Con lo que has aprendido hasta ahora se pueden resolver una amplia variedad de problemas métricos. Muchos de ellos donde aparecen distancias, y otros relacionados con el cálculo de superficies.

Si el gráfico de la derecha representara el caso de Sinuhé y el pescador, podríamos resolverlo del siguiente modo:

Para calcular el área de un triángulo, necesitamos su base y su altura. Podemos tomar como base el segmento AB (curioso ¿verdad?, la base no tiene por qué está en horizontal y en la parte inferior del triángulo), y por tanto la altura será la distancia de C a la recta que pasa por A y por B.

Vamos a hallar esa recta en primer lugar:

Pasa por A=(-1,7) y tiene vector director v=(5,-5)

 

A continuación, calculamos la distancia de C a la recta anterior usando la fórmula que ya conocemos.

La base del triángulo será el segmento AB, y finalmente calculamos la superficie.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Otro tipo de problema métrico es aquél en el que no te piden una medida como resultado, sino que te dan una serie de condiciones para averiguar una variable del problema.

Por ejemplo: imagina que de un triángulo isósceles conoces los dos vértices que forman el lado desigual, A=(1,-2) y B=(4,3), pero no sabes cuál es el tercer vértice. De él sólo sabes que se encuentra sobre la recta r ≡ 3x-y+2 = 0.

Para resolver este tipo de problemas es fundamental entenderlo bien y ayudarse de un esquema. En este caso nos dan dos condiciones: el triángulo es isósceles, y el punto C está en la recta r.

Empecemos por esta última condición.

Nuestra incógnita es C=(x,y). Como sabemos que C está en la recta r, cumple su ecuación. Por tanto en r podemos despejar una de las dos variables para tener C dependiendo de una única incógnita.

Para eliminar la última incógnita utilizamos la otra condición: el triángulo es isósceles. ¿Qué quiere decir esto? Que tenemos dos lados iguales, que en nuestro caso son AC y BC. Podemos imponer una condición métrica: la distancia de A a C es la misma que de B a C, es decir

d(A,C) = d(B,C)

Este último problema se podría haber resuelto de otra forma, ya que el punto C pertenece a un "lugar especial", el de los puntos que están a la misma distancia de A y de B, que es la recta mediatriz de AB. Si averiguamos la ecuación de esa recta, el punto C sería la intersección de r y de la mediatriz.

En esta escena de Geogebra puedes ver dos de esos lugares especiales: la mediatriz y la bisectriz. Puedes modificar los puntos del triángulo y verás que siempre las tres mediatrices y las tres bisectrices se cortan en un único punto.

Actividad

Al conjunto de puntos que tienen alguna propiedad en común se le llama lugar geométrico. Los dos que acabamos de ver y las cónicas que veremos en el siguiente apartado son lugares geométricos.

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Sigue los pasos para resolver el siguiente problema y completa los huecos en blanco:

De un triángulo conocemos dos de sus vértices: A(2,0) y C(-3,2). También conocemos la mediatriz del lado AB, m1 ≡ 4x-2y-3 = 0.

Halla el vértice B y el circuncentro del triángulo.

a) Empezaremos hallando el vértice B. Este punto debe estar en el lado AB, que es (paralelo/perpendicular) a la mediatriz. Además pasa por el punto A. Utilizando estos dos datos, obtenemos la ecuación simplificada del lado AB: =0.

b) El punto medio M entre A y B debe ser la intersección de m1 y el lado AB. Si resuelves el sistema formado por las dos ecuaciones, el resultado es M=( , / ).

c) Para averiguar el punto medio entre otros dos, se suman las coordenadas y se dividen entre dos. Si llamas a B=(x,y), conociendo A y M podemos calcular que B=( , )

d) Ahora buscaremos el circuncentro. Para ello necesitamos otra mediatriz, por ejemplo m2. Ya sabes que la condición que tiene que cumplir es que d(X,A)=d(X,C). De esta forma obtenemos la mediatriz m2 ≡ =0.

e) El circuncentro es la intersección de las dos mediatrices que ya conocemos: O=( / , / )

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Para saber más

En los siguientes enlaces de lasmatematicas.es, dispones de más ejemplos y actividades relativos al cálculo de lugares geométricos, incluidos la mediatriz y bisectriz.

 

Video 1:Bisectrices de dos rectas

Vídeo 2:Mediatriz de un segmento

AV - Reflexión

Calcula las rectas bisectrices del ángulo definido por las rectas