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3. La integral definida

Importante

REGLA DE BARROW

Sea \(f(x)\) una función definida en el intervalo \([a,b]\) y sea \(F(x)\) una primitiva de dicha función. Se verifica que la integral definida, entre \(a\) y \(b\), es igual a la diferencia de la función primitiva en los extremos del intervalo. Es decir,

\[\displaystyle \int_a^b f(x) dx =F(b)-F(a)\]

Ejercicio 04

1. \(\displaystyle \int_0^6 x^2 dx = \left [ \displaystyle \frac {x^3}{3} \right ]_0^6=\displaystyle \frac {6^3}{3} - \displaystyle \frac {0^3}{3} =72 \)

2. \(\displaystyle \int_1^5 {-2x^2+2} \, dx = \left [ \displaystyle \frac {-2x^3}{3} +2x \right ]_1^5=\displaystyle \frac {-2 \cdot 5^3}{3} +2\cdot 5 - \left [ \displaystyle \frac {-2 \cdot 1^3}{3} +2 \cdot 1 \right ]=-83,33+10+0,67-2=-74,66 \)

3. \(\displaystyle \int_2^4 -x^3+2x-1 \, dx = \left [ \displaystyle \frac {-x^4}{4} +\displaystyle \frac {2x^2}{2} -x \right ]_2^4=\displaystyle \frac {-4^4}{4} +\displaystyle \frac {2\cdot 4^2}{2} -4 - \left [\displaystyle \frac {-2^4}{4} +\displaystyle \frac {2\cdot 2 ^2}{2} -2\right ] = -64+16-4+4-4+2=-50\)

Importante

Las integrales definidas presentan las siguientes propiedades:

\begin{equation}
\displaystyle \int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx =\displaystyle \int_a^b f(x) dx \pm \displaystyle \int_a^b g(x) dx
\end{equation}

\begin{equation}
\displaystyle \int_a^b c \cdot f(x) dx =c \cdot \displaystyle \int_a^b f(x) dx
\end{equation}

\begin{equation}
\displaystyle \int_a^b f(x) dx = - \displaystyle \int_b^a f(x) dx
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{array}{c}
\text {Si tenemos dos funciones f(x) y g(x) definidas en el intervalo [a,b] y tales que } f(x) \le g(x):\\
\displaystyle \int_a^b f(x) dx \le \displaystyle \int_a^b g(x) dx\\
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{array}{c}
\text {Si tenemos un valor c del intervalo [a,b] cualquiera se verifica que:}\\
\displaystyle \int_a^b f(x) dx =\displaystyle \int_a^c f(x) dx +\displaystyle \int_c^b f(x) dx \\
\end{array}
\end{equation}