3. Probabilidad condicionada

Retroalimentación

Las dos primeras probabilidades ya las habíamos calculado en el tema anterior. Como puedes ver corresponden a una intersección de sucesos.

a) Si consideramos el suceso A={ser mujer} y B={matriculado en secundaria}, en este caso nos están pidiendo:

\[P( A \cap B)=\displaystyle \frac {260}{850}=0,31\]

b) En este caso nos están pidiendo:

\[P( \text{Hombre} \cap \text{Bachillerato} )=\displaystyle \frac {190}{850}=0,22\]

En los otros dos apartados ya nos están pidiendo probabilidades condicionadas, en cuyo caso ya no trabajamos con los mismos números.

c) Si hemos elegido una persona matriculada en bachillerato, ya nos estamos refiriendo solamente a los 410 alumnos que hay de bachillerato, de los que 190 son hombres, por lo que la probabilidad pedida sería:

\[P( \text{Hombre } | \text{ Bachillerato} )=\displaystyle \frac {190}{410}=0,46\]

d) De la misma forma, en este apartado trabajamos solo con las 480 mujeres que hay matriculadas y entonces tendremos:

\[P( \text{Secundaria } | \text{ Mujer} )=\displaystyle \frac {260}{480}=0,54\]

Retroalimentación

Actividad 1

Al ser el primer ejercicio de cálculo de probabilidades con condicionadas lo haremos con mucho detalle. En el primer caso nos encontramos en una extracción con reemplazamiento. En primer lugar construimos el árbol de probabilidades:

Ahora construyamos las probabilidades de cada rama del árbol:

El espacio muestral queda completado con cada una de las ramas, y la probabilidad de que ocurra cada caso se determina mediante el producto de las probabilidades implicadas en cada rama. Para escribirlo correctamente:

\[ P(BB)=P(B|B) \cdot P(B) = \displaystyle \frac {3}{9} \cdot \displaystyle \frac {4}{10} = 0,13 \]

\[ P(BN)=P(N|B) \cdot P(B) = \displaystyle \frac {6}{9} \cdot \displaystyle \frac {4}{10} = 0,27 \]

\[ P(NB)=P(B|N) \cdot P(N) = \displaystyle \frac {4}{9} \cdot \displaystyle \frac {6}{10} = 0,27 \]

\[ P(NN)=P(N|N) \cdot P(N) = \displaystyle \frac {5}{9} \cdot \displaystyle \frac {6}{10} = 0,33 \]

Observa que hemos calculado cada una de las probabilidades de cada suceso que cubre el espacio muestral, luego una comprobación que puedes hacer es que la suma de todas ellas salga 1 o un número muy cercano a 1 por los redondeos realizados:

\[ 0,13+0,27+0,27+0,33=1\]

Centrándonos ya en lo que nos pide el apartado:

\[ P(BB)= 0,13 \]

Actividad 2

Ahora se nos pide calcular la probabilidad de obtener una bola de cada color. Lo primero que observamos es que tanto el segundo suceso como el tercero representan esta situación. En estos casos, entonces, solo debemos sumar ambas probabilidades:

\[ P(\text{Una bola de cada color})=P(BN) + P(NB) =0,27+0,27=0,54 \]

Actividad 3

En este caso, sería más fácil el cálculo de probabilidades al tratarse de ser independientes las dos extracciones. No obstante, si no quieres complicar la cosa, puedes seguir el mismo procedimiento anterior para hacerlo:

\[ P(BB)=P(B|B) \cdot P(B) = \displaystyle \frac {4}{10} \cdot \displaystyle \frac {4}{10} = 0,16 \]

\[ P(BN)=P(N|B) \cdot P(B) = \displaystyle \frac {6}{10} \cdot \displaystyle \frac {4}{10} = 0,24 \]

\[ P(NB)=P(B|N) \cdot P(N) = \displaystyle \frac {4}{10} \cdot \displaystyle \frac {6}{10} = 0,24 \]

\[ P(NN)=P(N|N) \cdot P(N) = \displaystyle \frac {6}{10} \cdot \displaystyle \frac {6}{10} = 0,36 \]

Y lo que nos piden:

\[ P(BB)= 0,16 \]

\[ P(\text{Una bola de cada color})=P(BN) + P(NB) =0,24+0,24=0,48 \]