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1.3. Parámetros

En la Unidad en la que se desarrolla el estudio de las variables estadísticas, se explica cómo calcular las medidas asociadas a una de estas variables: media, mediana, varianza o desviación típica. A las variables aleatorias (que estamos estudiando en esta unidad) también le calcularemos medidas. Incluso, coincidirán con los nombres de las medidas de las variables estadísticas. Es por ello que, para evitar confusiones, en vez de medidas, utilizaremos el nombre de parámetros.

gráficos estadísticos

Imagen de kreatikar en Pixabay. Dominio Público

Importante

Dada una variable aleatoria discreta, \(X\), que toma los valores: \(x_1, x_2, x_3, ... , x_k\) y dada su función de probabilidad asociada:

\(p(X=x_i) = p_i\), podemos calcularle los siguientes parámetros, cuyas fórmulas se detallan:

  • Media o esperanza matemática: \( \mu = x_1 \cdot p_1+x_2\cdot p_2+...+x_k \cdot p_k= \sum x_i \cdot p_i \) (También se representa como \(E(x)\))

Puede interpretarse como el valor esperado o medio que toma la variable o, tambien, como el valor central de la distribución.

  • Varianza: \( s^2 = \sum x_i^2 \cdot p_i - \mu ^2\). También se representa con \(Var(X)\) o \(V(x)\)
  • Desviación típica: \( \sigma = \sqrt { s^2} \). También se representa por \(DT(x)\)

Ejercicio 04

X 0 1 2 3 4 5 6 Sumas
\(p_i\) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16 \( \sum p_i =1 \)
\(x_i \cdot p_i\) 0 2/16 6/16 12/16 12/16 10/16 6/16 \( \sum x_i \cdot p_i =3 \)
\(x_i^2 \cdot p_i\) 0 2/16 24/16 36/16 48/16 50/16 36/16 \( \sum x_i ^2\cdot p_i =196/16 \)

Vamos a calcular la esperanza, varianza y desviación típica del juego de los chinos.

Observa que se ha completado la tabla con dos filas y hemos calculado las sumas de las filas.

Aplicando las fórmulas para cada uno de los parámetros tendríamos:

 

Esperanza:

\[ \mu = \sum x_i \cdot p_i =3 \]

Varianza:

\[ \sigma ^2 = \sum x_i^2 \cdot p_i - \mu ^2 = \frac {196}{16}-3^2=12,25-9=3,25\]

Desviación típica:

\[ \sigma = \sqrt {3,25} =1,80 \]

Ejercicio 05

Pregunta

Completa la tabla siguiente y responde a las cuestiones que se plantean posteriormente:

xi 1 2 3 4 5
pi 0,1 0,1 0,25 0,35 p5

 

Respuestas

1a) La variable es continua

1b) La variable es discreta

Retroalimentación

Pregunta

El valor de \(p_5\) es:

Sugerencia

Recuerda que \( \sum p_i =1 \)

Respuestas

a) 1

b) 0,25

c) 0,20

Retroalimentación

Pregunta

La media de esta variable es :

Respuestas

a) 3,45

b) 4,35

c) 5,34

Retroalimentación

Pregunta

La desviación típica es:

Respuestas

a) 2

b) 2,1

c) 1,2

Retroalimentación

Ejercicio 06

Pregunta

Una compañía aérea ha vendido 153 billetes para un avión de 148 pasajeros, considerando que, finalmente algunos no acudirán al aeropuerto a realizar su viaje.

Si llamamos X: "Número de pasajeros que acuden finalmente al aeropuerto para viajar en el avión", la distribución de esta variable se recoge en la siguiente tabla:

xi

146

147

148

149

150

151

152

153

pi

0,06

0,08

0,14

0,21

0,23

0,18

0,08

0,02

Observa que pi es la probabilidad de que finalmente acudan xi pasajeros para viajar en el avión. Por ejemplo, a la vista de los datos de la tabla, la probabilidad de que acudan finalmente 150 pasajeros es 0,18 (un 18%). 

Responde a las siguientes cuestiones:

 

Cuestión 1: X es una variable aleatoria ...

Respuestas

(a) Discreta

(b) Continua

Retroalimentación

Pregunta

Cuestión 2: La probabilidad de que todos los viajeros que acuden al aeropuerto tengan plaza en el avión vale ...

Sugerencia

Para que todos tengan plaza, deben acudir 148 pasajeros o menos, \(X \le 148 \)

Respuestas

(a) 0,14

(b) 0,32

(c) 0,28

Retroalimentación

Pregunta

Cuestión 3: La probabilidad de que se quede sin plaza alguno de los viajeros que van al aeropuerto vale ...

Sugerencia

Para que alguno se quede sin plaza, deben acudir más de 148 pasajeros, X > 148

Respuestas

(a) 1

(b) 0,72

(c) 0,15

Retroalimentación

Pregunta

Cuestión 4: El número esperado de viajeros que acudirán al aeropuerto es ...

Sugerencia

El número esperado de viajeros que acudirán al aeropuerto, es la media o esperanza matemática de la variable X.

Respuestas

(a) 151,2

(b) 154

(c) 149,43

Retroalimentación

Pregunta

Cuestión 5: La desviación típica de la variable X vale ...

Sugerencia

Para calcular la desviación típica, primero obtendremos la varianza. Es recomendable que elabores una tabla como la que hicimos en el anterior ejercicio resuelto.

Respuestas

(a) 9,8587

(b) 2,2531

Retroalimentación