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5. Aproximación de la distribución binomial por la normal

Moneda dispuesta a ser lanzada al aire
Imagen de Freddy The Boy bajo CC

¿Te acuerdas de la binomial? Sí, el tema anterior. El modelo en el que se repetía una serie de veces un experimento, había solamente dos posibles resultados, éxito y fracaso, y contábamos el número de éxitos.

Por ejemplo, si lanzabas 8 veces una moneda y contabas el número de caras, eso era una binomial con n = 8 y p, probabilidad de éxito en un lanzamiento igual a 0,5;

\(X= \)n.º de caras \(\sim  B(8; 0,5) \)

Si sigues recordando, la fórmula para calcular la probabilidad de un valor en este modelo era: 

\[ P \left [ X=k \right ] = \binom {n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Esta fórmula era un poco pesada de aplicar y si teníamos que calcular la probabilidad de que \(X\) fuese mayor que un cierto valor o menor, había que aplicarla varias veces.

¿Te imaginas que repetimos la prueba 50 veces y queremos calcular la probabilidad de que al menos obtengamos 20 caras? Al menos 20 significa 20 o más, o sea, que tendríamos que calcular la probabilidad de X=20, de X=21, de X=22,..., y así hasta X=50. ¡Casi nada!

Pues bien, cuando hacemos que el tamaño de la muestra o de las repeticiones sea suficientemente grande, el modelo binomial se puede aproximar al normal, pero claro, ¿a qué normal? Pues al que tiene como media la media de esa distribución binomial y como desviación típica la desviación típica del modelo binomial.Y entonces todos esos cálculos se van a facilitar.

Pero otra cuestión que hay que tener en cuenta es el valor del parámetro "p". Repite lo anterior con "p" muy pequeño ( menor que 0,1) y después con "p" muy próximo a 1 (entre 0,9 y 1). Ya no se parece tanto, ¿verdad?

Luego tenemos que fijar un criterio para considerar que la aproximación es buena, y ese criterio es que "n" tiene que ser suficientemente grande, y por ello entendemos al menos 30 y que "p" no sea ni muy grande ni muy chico, y para eso, hemos de comprobar que n·p sea por lo menos 5 y n·(1-p) también.

Importante

Si \(X\) es una variable aleatoria discreta que sigue un modelo binomial de parámetros \(n\) y \(p\) \( \left ( X \sim B(n , p) \right ) \), \(X\) se puede aproximar a un modelo normal de parámetros \(n \cdot p\)  y \( \sqrt {n \cdot p \cdot (1-p) } \) si se cumplen las condiciones para "\(n\)" y "\(p\)":

 

  • \( n \ge 30 \)
  • \( n \cdot p \ge 5\) y \(n\cdot (1-p) \ge 5\)

 Si se cumple esto, la variable quedaría aproximada por este modelo normal:

\[ X \sim N \left ( n \cdot p , \sqrt {n \cdot p \cdot (1-p) } \right ) \] 

A este resultado se le conoce como Teorema de De-Moivre

Ejercicio 11

 

Calle se Sevilla con naranjos y la Giralda al fondo
17. Imagen de Barraquito bajo licencia Creative Commons

¿Recuerdas a Jorge?, pues el próximo puente lo va a pasar de turismo en Sevilla y de camino probará suerte en el Gran Casino Aljarafe, aunque lo de Jorge más que probar es ganar casi seguro.

Con suficiente antelación hizo su reserva de hotel para los tres días que iba a pasar en la capital de andaluza.

Los hoteleros son conscientes de que mucha gente reserva plaza por si acaso, pero que después cuando llegue el momento no van a hacer uso de ella y le van a dejar colgada la habitación. Manejan la cifra de que aproximadamente el 15% de las personas que reservan una plaza, luego no aparecen.

Pues bien, en el hotel donde Jorge reservó la habitación se han aceptado 104 reservas para ese fin de semana, pese a que el hotel sólo dispone de 97 habitaciones. ¿Qué probabilidad hay de que Jorge se quede sin habitación y tenga que buscar otro hotel?

Ejercicio 12

Pregunta

 

 señal de curva peligrosa con pendiente de 20% y velocidad máxima 5
 18. Imagen de David Sotelo bajo licencia Creative Commons.

¿Hace mucho que aprobaste el carnet de conducir?  ¿Te acuerdas del teórico? Había que contestar 40 preguntas tipo test y en cada pregunta había 4 posibles respuestas de las que sólo una era verdadera y para aprobar podías tener como máximo 4 fallos. Supongo que cuando lo hiciste estudiaste bastante el código, pero, ¿te preguntaste alguna vez que posibilidades hay de aprobar sin estudiar absolutamente nada, o lo que es lo mismo, contestando al azar?

Pues ahora lo vas a calcular. Ve eligiendo la respuesta correcta en las siguientes cuestiones:

 

1) La variable a definir será:

 

 

 

Respuestas

X = Número de preguntas acertadas

X = Número de veces que me presento al examen.

Retroalimentación

Pregunta

2) Está claro que esa variable sigue un modelo binomial, pues en cada pregunta o aciertas o fallas. n será 40, pues hay 40 preguntas, pero ¿y p?

Respuestas

0,5

0,25

0,75

Retroalimentación

Pregunta

3) Este modelo binomial puede aproximarse a uno normal

Sugerencia

Hay que comprobar que se puede aplicar el Teorema de De-Moivre

Respuestas

Sí, y la aproximación es \(N(10 ; 2,74)\)

Sí, y la aproximación es \(N(10; 7,5)\)

Retroalimentación

Pregunta

4) La probabilidad que hay que calcular es:

Respuestas

\(P(X > 4)\)

\(P(X = 36)\)

\(P(X \le 36)\)

\(P( X \ge 36)\)

Retroalimentación

Pregunta

5) La probabilidad de aprobar entonces es:

Respuestas

0,25

0,00738

0,0378

Retroalimentación