3. Distribución muestral de proporciones

Lo habitual hasta ahora era plantearnos en una muestra la media que obteníamos sobre una variable. Por ejemplo, estudiábamos la estatura en centímetros de una población, y para la muestra obteníamos, por ejemplo, \( \overline x = 167 cm\).

Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar en la muestra la proporción de artículos defectuosos, la proporción de alumnos suspendidos o la proporción de pacientes que con una terapia determinada pierden el miedo a volar, por poner algunos ejemplos.

Para dar respuesta a estas situaciones vamos a utilizar lo que llamamos distribución muestral de proporciones.

• \(p\): proporción de individuos que poseen la característica a estudiar en toda la población.
• \(n\): tamaño de todas la muestras que podamos extraer de la población.
•  \(\widehat p \): es la proporción de individuos que tienen la característica en la muestra elegida.
  • \(n_1 \to \hat {p_1} \)
  • \(n_2 \to \hat {p_2} \)
  • \(n_3 \to \hat {p_3} \)
  • \(n_4 \to \hat {p_4} \)
  • ...

Los distintos valores de \(\hat{p}\) que dependen de las muestras elegidas, dan lugar a una variable aleatoria que se representa por \(\hat{P}\) y que se llama estadístico.

Llamamos distribución muestral de proporciones a la distribución de los valores de \(\hat{P}\). Esta variable aleatoria tiene las siguientes características:

a) La media es: \(\mu = p\).

b) La desviación típica es: \( \sigma = \sqrt {\displaystyle \frac {p \cdot q}{n}}\), siendo \(q=1-p\).

c) Para muestras donde \(n \ge 30\), la distribución de\(\hat{P}\) se aproxima a una distribución normal \( N \left (p,\sqrt {\displaystyle \frac {p \cdot q}{n}}\right )\)