Saltar la navegación

4. Distribución muestral de la media

Vagón del Metro de Sevilla 

Cuando estamos haciendo un estudio sobre una población, por ejemplo, la satisfacción de los usuarios del metro de Sevilla valorados en una puntuación entera de 0 a 100, lo que solemos hacer es escoger una muestra de 30 personas, por ejemplo, y reducir el estudio a esa muestra.

Pero si para esa muestra calculamos su media \(\overline x\) y su desviación típica \(s\), obtendremos dos valores que pueden estar o no estar próximos a los valores de la media \(\mu\) y de la desviación típica \(\sigma\) de la población, pues lo hemos hecho sólo para una muestra. Si repetimos el proceso sucesivamente con más muestras, lo lógico es que obtengamos valores distintos para esa media y esa desviación típica, ¿verdad?:

Muestra 1: \(\overline x_1\) y \(s_1\)

Muestra 1: \(\overline x_2\) y \(s_2\)

Muestra 1: \(\overline x_3\) y \(s_3\)

...

¿Con cuál nos quedamos?

Los distintos valores de las medias de cada muestra \( \overline x_i\) dan lugar a una nueva variable aleatoria, que por ejemplo, podemos representar por \( \overline X \). La distribución de los valores de \( \overline X \) se llama distribución en el muestreo de la media.

Esta nueva variable estadística, llamada Estadístico, tendrá su propia media \( \mu_ {\overline X}\) y su propia desviación típica\( \sigma_ {\overline X}\).

Veamos este vídeo del profesor de Bioestadística D. Francisco Javier Barón López de la Facultad de Medicina de la Universidad de Málaga que nos aclara bastante esta situación. Por cierto, las aplicaciones de las que habla al principio de vídeo serán las que veamos en la próxima unidad.

Importante

La distribución en el muestreo de la media \( \overline X \) tiene las siguientes características:

a. Media: Tiene la misma media que la población, es decir, \(\mu \).

b. Desviación típica: La desviación típica de esta distribución es \( \displaystyle \frac {\sigma}{\sqrt n} \) siendo \(n\) el tamaño de las muestras.

c. Si la población no sigue una distribución normal, pero \(n \ge 30 \), la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal, esta aproximación será mejor cuanto mayor sea \(n\).

\[\overline X \to N \left ( \mu , \displaystyle \frac {\sigma}{\sqrt n} \right )\]

Ejercicio 13

 

Trabajador en una salina
Imagen de guimoll con licencia Creative Commons

La empresa Sal Marina, S.A. comercializa sal que empaqueta en bolsas de 500 gramos. Se sabe que los pesos reales de las bolsas siguen una distribución normal de media 498 gr y desviación típica 8 gr.

 

Si se toma al azar una muestra de 30 bolsas:

a) ¿Cuál es la distribución en el muestreo de la media?

b) Halla la probabilidad de que la media de la muestra sea mayor de 500 gr.

Ejercicio 14

El peso de los adultos de una población sigue una distribución Normal de media 70 Kg y desviación típica 16 Kg. Si elegimos, al azar, muestras de tamaño 4,

a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una de esas muestras esté comprendido entre 65 y 72 Kg?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que ese peso medio sea menor que 70 Kg?

Ejercicio 15

En el último año, el peso de los recién nacidos en una maternidad se ha distribuido según una ley normal de media \( \mu = 3100 g \) y una desviación típica \( \sigma = 150 g \)

¿Cuál será la probabilidad de que la media de una muestra de 100 recién nacidos sea superior a 3130 g?