2.2. Intervalo de confianza para la media

Retroalimentación

\[n=500\]

\[ \overline x =880 \hspace {30px} \sigma =180\]

\[ C=95 \% \Rightarrow c=0,95 \Rightarrow \alpha =0,05 \Rightarrow 1- \displaystyle \frac {\alpha}{2} =0,975 \Rightarrow \text{Valor crítico: }Z_{1- \frac {\alpha}{2}} = 1,96 \]

Error máximo admisible: \( E= Z_{1 - \frac {\alpha}{2}} \cdot \displaystyle \frac {\sigma }{\sqrt n} = 1,96 \cdot \displaystyle \frac {180}{\sqrt {100}}=35,28\)

Margen de error: \( 2 \cdot E = 2 \cdot 35,28 = 70,56 \)

Intervalo de confianza: \( (\overline x -E ,\overline x +E )=  (880 -35,28 ; 880 + 35,28)=(844,72 ; 915,28) \)

Retroalimentación

Apartado 1

\[n=25\]

\[\overline x = 0,3\]

\[  \sigma =0,2\]

\[ C=94 \% \Rightarrow \text{Valor crítico: }Z_{1- \frac {\alpha}{2}} = 1,88 \]

Error máximo admisible: \( E= Z_{1 - \frac {\alpha}{2}} \cdot \displaystyle \frac {\sigma }{\sqrt n} = 1,88 \cdot \displaystyle \frac {0,2}{\sqrt {25}}=0,0752\)

Margen de error: \( 2 \cdot E = 2 \cdot 0,0752 = 0,1504 \)

Intervalo de confianza: \( (\overline x -E ,\overline x +E )=  (0,3 -0,0752 ; 0,3+ 0,0752)=(0,2248; 0,3752) \)

Apartado 2

\[n=??\]

\[  \sigma =0,2\]

\[ C=90 \% \Rightarrow \text{Valor crítico: }Z_{1- \frac {\alpha}{2}} = 1,645 \]

Error máximo admisible: \( E<0,05 \Rightarrow Z_{1 - \frac {\alpha}{2}} \cdot \displaystyle \frac {\sigma }{\sqrt n} <0,05 \Rightarrow 1,645 \cdot \displaystyle \frac {0,2}{\sqrt n}<0,05 \Rightarrow \)

\[ \Rightarrow \displaystyle \frac {1}{\sqrt n} < \displaystyle \frac {0,05}{1,645 \cdot 0,2} \Rightarrow \sqrt n >  6,58 \Rightarrow n > 43,29\]

Luego el tamaño mínimo de la muestra debe ser 44.

Retroalimentación

Apartado 1

\[n=9\]

\[\overline x = \displaystyle \frac {205+198+ 202+ 204+197+195+196+201+202}{9}=200\]

\[  \sigma =4,5\]

\[ C=97 \% \Rightarrow \text{Valor crítico: }Z_{1- \frac {\alpha}{2}} = 2,17 \]

Error máximo admisible: \( E= Z_{1 - \frac {\alpha}{2}} \cdot \displaystyle \frac {\sigma }{\sqrt n} = 2,17 \cdot \displaystyle \frac {4,5}{\sqrt {9}}=3,255\)

Margen de error: \( 2 \cdot E = 2 \cdot 3,255 = 6,51 \)

Intervalo de confianza: \( (\overline x -E ,\overline x +E )=  (200 -3,255 ; 200+ 3,255)=(196,745; 203,255) \)

Apartado 2

\[n=??\]

\[  \sigma =4,5\]

\[ C=97 \% \Rightarrow \text{Valor crítico: }Z_{1- \frac {\alpha}{2}} = 2,17 \]

Error máximo admisible: \( E<1 \Rightarrow Z_{1 - \frac {\alpha}{2}} \cdot \displaystyle \frac {\sigma }{\sqrt n} <1 \Rightarrow 2,17 \cdot \displaystyle \frac {4,5 }{\sqrt n} <1\Rightarrow \)

\[ \Rightarrow \displaystyle \frac {1}{\sqrt n} < \displaystyle \frac {1}{2,17 \cdot 4,5} \Rightarrow \sqrt n > 9,765 \Rightarrow n > 95,36\]

Luego el tamaño mínimo de la muestra debe ser 96.

Retroalimentación

\[n=??\]

\[  \sigma =57\]

\[ C=95 \% \Rightarrow \text{Valor crítico: }Z_{1- \frac {\alpha}{2}} = 1,96 \]

La amplitud del intervalo de confianza es precisamente el margen de error, es decir, \( 2 \cdot E \).

Luego tenemos que exigir que \( 2 \cdot E <10 \Rightarrow  2 \cdot Z_{1 - \frac {\alpha}{2}} \cdot \displaystyle \frac {\sigma }{\sqrt n} <10 \Rightarrow 2 \cdot 1,96 \cdot \displaystyle \frac {57}{\sqrt n} <10\Rightarrow \)

\[ \Rightarrow \displaystyle \frac {1}{\sqrt n} < \displaystyle \frac {10}{2 \cdot 1,96 \cdot 57 }\Rightarrow \displaystyle \frac {1}{\sqrt n} < \displaystyle \frac {10}{223,44}  \Rightarrow \sqrt n > 22,344 \Rightarrow n > 449,25\]

Luego el tamaño mínimo de la muestra debe ser 450.