1. Correlación de variables

Algunas de las noticias que has podido oír referentes a nuestra historia sobre el cambio climático, han sido, entre otras, las siguientes:

La población mundial en el año 2050 aumentará en más de mil millones de personas, y con ello las emisiones de CO₂, según datos de la ONU.
La Agencia Estatal de Meteorología prevé que la temperatura en España aumentará hasta en 6 ºC en 2100.
El nivel del mar podría aumentar hasta un metro para 2100 según científicos australianos.

En este tema veremos que, si entre dos variables de una determinada situación existe cierta relación, podremos hacer previsiones sobre el comportamiento futuro de estas.

Hemos visto anteriormente que gráficamente podemos observar de manera aproximada la existencia de correlación entre dos variables:

Como puedes ver, en ambas la correlación es positiva. Pero, ¿crees que en los dos casos existe la misma dependencia entre las variables? Por lo que se puede apreciar en las gráficas, en el Estudio A la dependencia parece ser más fuerte que en el Estudio B. Por tanto, debe existir alguna forma para medir la correlación.

A continuación, definiremos dos parámetros, la covarianza y el coeficiente de correlación lineal, que nos servirán para establecer esta medida.

Importante

La covarianza de una variable bidimensional \((X,Y)\), que representaremos por \(\sigma_{XY}\), es una medida estadística que se calcula usando la expresión:

\( \sigma_{XY} = \displaystyle \frac {\sum x_i y_i}{N}-\overline x \overline y\) para tablas sencillas: \(\begin{array} {|r|r|}\hline X & & & \\ \hline Y & & & \\ \hline \end{array} \)

\( \sigma_{XY} = \displaystyle \frac {\sum x_i y_j n_{ij}}{N}-\overline x \overline y\) para tablas dobles: \(\begin{array} {|c|c|c|c|}\hline X/Y & & & &\\ \hline & & & &\\ \hline
& & & &\\ \hline
& & && \\ \hline
\end{array}\)

El signo de la covarianza nos permitirá saber el tipo de correlación:

Si la covarianza es positiva, la correlación será directa.
Si la covarianza es negativa, la correlación será inversa.

Ejercicio 1

En un estudio sociológico se está analizando el nivel de estudios de la población y el salario mensual de estos. Los datos obtenidos se reflejan en esta tabla:

\( \begin{array} {|l|c|c|c|c|c|}
\hline
X \text {: Nivel de estudios} &1&2&3&4&5 \\
\hline Y \text {: Ingresos €} &700&940&1120&1300&2180 \\
\hline
\end{array}\)

donde...

1: Sin titulación
2: Estudios secundarios
3: Técnicos de grado medio
4: Bachillerato
5: Técnicos superiores o licenciados.

¿Cuál es el valor de la covarianza?

Retroalimentación

Empezemos por calcular la medias marginales:

\[ \begin{array} {|c|c|c|}
\hline
\bf{x_i} &\bf{n_i} &\bf{x_i} \cdot \bf{n_i} \\
\hline
1&1& 1\\
\hline
2&1 &2\\
\hline
3&1 &3\\
\hline
4&1& 4\\
\hline
5&1& 5\\
\hline
&N=5&15 \\
\hline
\end{array} \Rightarrow \overline x = \displaystyle \frac {15}{5}=3\]

\[\begin{array} {|c|c|c|}
\hline
\bf{y_j} &\bf{n_j} &\bf{y_j} \cdot \bf{n_j} \\
\hline
700&1& 700\\
\hline
940&1 &940\\
\hline
1120&1 &1120\\
\hline
1300&1& 1300\\
\hline
2180&1& 2180\\
\hline
&N=5&6240\\
\hline
\end{array} \Rightarrow \overline y = \displaystyle \frac {6240}{5}=1248 \]

Y ahora ya podemos calcular la covarianza:

\[
\begin{array}{ll}
\sigma_{XY} &=\displaystyle \frac {\sum x_i y_i}{N}-\overline x \overline y = \displaystyle \frac {1\cdot 700 +2\cdot 940 +3\cdot 1120 +4\cdot 1300 +5\cdot 2180 }{5}-3\cdot 1248 =\\
&=\displaystyle \frac {22040}{5}-3\cdot 1248=4408-3744=664
\end{array}\]

Como la covarianza es positiva, la correlación es directa.

Ejercicio 2

A la salida de un restaurante se hace una encuesta en la que se pregunta el número de persona que vienen a comer juntas, X, y la calificación de 1 a 4 que le pondrían al restaurante, Y. Los datos recogidos se han ordenado en la tabla:

\[\begin{array} {|c|c|c|c|}\hline X/Y &1&2&3&4\\
\hline
1&0&1&0&0\\ \hline
2&2&3&4&1 \\ \hline
3&2&3&6&1 \\ \hline
4&0&0&2&0 \\ \hline
\end{array}\]

Retroalimentación

Comencemos con las medias marginales:

\[\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|}\hline \bf{X/Y} &1&2&3&4&\\
\hline
1&0&1&0&0&\color{red}{\bf{1}}\\ \hline
2&2&3&4&1&\color{red}{\bf{10}} \\ \hline
3&2&3&6&1&\color{red}{\bf{12}} \\ \hline
4&0&0&2&0&\color{red}{\bf{2}} \\ \hline
&\color{red}{\bf{4}}&\color{red}{\bf{7}}&\color{red}{\bf{12}}&\color{red}{\bf{2}}&\color{red}{\bf{25}} \\ \hline
\end{array}\]

\[\begin{array} {\|c\|c\|c\|}\hline \bf{x_i} &n_i&x_i\cdot n_i\\ \hline 1&\color{red}{\bf{1}}&1\\ \hline 2&\color{red}{\bf{10}} &20\\ \hline 3&\color{red}{\bf{12}} &36\\ \hline 4&\color{red}{\bf{2}}&8 \\ \hline &\color{red}{\bf{25}}&65\\ \hline \end{array}\]		\[ \begin{array} {\|c\|c\|c\|}\hline \bf{y_j} &n_j&y_j\cdot n_j\\ \hline 1&\color{red}{\bf{4}}&4\\ \hline 2&\color{red}{\bf{7}} &14\\ \hline 3&\color{red}{\bf{12}} &36\\ \hline 4&\color{red}{\bf{2}}&8 \\ \hline &\color{red}{\bf{25}}&62\\ \hline \end{array} \]
\[ \overline x = \displaystyle \frac {65}{25}=2,6 \]		\[ \overline y = \displaystyle \frac {62}{25}=2,48 \]

\[
\begin{array}{ll}
\sum x_i y_j n_{ij}&=1\cdot2\cdot1+2\cdot1\cdot2+2\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+2\cdot4\cdot1+\\
&+3\cdot1\cdot2+3\cdot2\cdot3+3\cdot3\cdot6+3\cdot4\cdot1+4\cdot3\cdot2=\\
&=164
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ll}
\sigma_{XY} &= \displaystyle \frac {\sum x_i y_j n_{ij}}{N}-\overline x \overline y=\\
&=\displaystyle \frac{164}{25}-2,6\cdot2,48=6,56-6,448=0,112
\end{array}
\]

Importante

Para poder concretar el nivel de correlación que tienen dos variables estadísticas, disponemos del coeficiente de correlación lineal de Pearson. Y para calcularlo, necesitamos conocer el valor de las desviaciones típicas marginales de cada variable \(\sigma_x \text{y} \sigma_y\), ya que su expresión viene dada por:

\[r=\displaystyle \frac {\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}\]

El valor del coeficiente de correlación lineal \(r\) siempre será un número comprendido entre -1 y 1 \( ( -1 \le r \le 1 ) \). Su signo nos indicará el sentido de la correlación (positiva o negativa) y mientras más próximo esté su valor a 1 o -1, más fuerte será la correlación.

Si elevamos al cuadrado el coeficiente de correlación lineal obtenemos el coeficiente de determinación \(r^2\), que determina la calidad del modelo para replicar los resultados. Siempre estará comprendido entre 0 y 1.

Interpretación: Según el valor de \(r\), la correlación entre las dos variables será:

\(r=0\): No existe correlación (correlación nula).
\(r=1\): La correlación es perfecta y positiva (correlación funcional positiva).
\(r=-1\): La correlación es perfecta y negativa (correlación funcional negativa).
\(r\) próximo a \(1\): La correlación es fuerte y positiva.
\(r\) próximo a \(-1\): La correlación es fuerte pero negativa.
\(r\) próximo a \(0\): La correlación es débil.

Ejercicio 3

Calcula el coeficiente de Pearson del ejercicio anterior.

Retroalimentación

Necesitamos calcular las desviaciones típicas marginales, pues la covarianza ya la calculamos:

\[\begin{array} {|c|c|c|c|}
\hline
\bf{x_i} &n_i&x_i\cdot n_i&x_i^2\cdot n_i\\
\hline
1&\color{red}{\bf{1}}&1&1\\ \hline
2&\color{red}{\bf{10}} &20&40\\ \hline
3&\color{red}{\bf{12}} &36&108\\ \hline
4&\color{red}{\bf{2}}&8&32 \\ \hline
&\color{red}{\bf{25}}&65&181\\ \hline
\end{array}\]

\[
\begin{array} {|c|c|c|c|}
\hline
\bf{y_j} &n_j&y_j\cdot n_j&y_j^2\cdot n_j\\
\hline
1&\color{red}{\bf{4}}&4&4\\ \hline
2&\color{red}{\bf{7}} &14&28\\ \hline
3&\color{red}{\bf{12}} &36&108\\ \hline
4&\color{red}{\bf{2}}&8&32 \\ \hline
&\color{red}{\bf{25}}&62&172\\ \hline
\end{array}
\]

\[
\overline x = \displaystyle \frac {65}{25}=2,6
\]

\[
\sigma_x^2=\displaystyle \frac {181}{25}-2,6^2=0,48
\]

\[
\sigma_x=\sqrt {0,48}=0,69
\]

\[
\overline y = \displaystyle \frac {62}{25}=2,48
\]

\[
\sigma_y^2=\displaystyle \frac {172}{25}-2,48^2=0,73
\]

\[
\sigma_y=\sqrt {0,73}=0,85
\]

\[r=\displaystyle \frac {\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}=\displaystyle \frac {0,112}{0,69 \cdot 0,85}=0,19\]

Luego las dos variables presentan una correlación positiva pero bastante débil.

Ejercicio 4

Una de las enfermedades que más preocupó y más alarma social creó desde finales de los 80 y la década de los 90 fue el Sida, por lo desconocido, por la inexistencia de medicamentos y vacunas para la enfermedad y por la serie de personalidades famosas de todos los ámbitos que sucumbieron ante dicha enfermedad.

Tenemos los siguientes datos del comportamiento de esta enfermedad en la provincia de Sevilla. En la siguiente tabla, se muestra el número de casos producidos en la provincia desde el año 92 hasta 2007:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Año}&1992&1993&1994&1995&1996&1997&1998&1999&2000&2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007\\
\hline
\text{Casos}&141&187&266&273&220&175&140&138&98&111&96&95&67&74&50&22\\
\hline
\end{array} \]

De manera evidente se ve que el número de casos ha ido disminuyendo a lo largo de los años salvo algunos repuntes, pero, ¿este comportamiento es regular o es un poco aleatorio?

Retroalimentación

Puesto que estamos estudiando la relación entre el número de casos de Sida y los años en los que ocurrieron estos casos, definiremos como variables el año y el número de casos. Así X será el año e Y el número de casos. Igual que en el ejemplo anterior, comenzamos calculando las distribuciones marginales de ambas variables, las medias y las desviaciones típicas.

\[\begin{array} {|c|c|c|c|}
\hline
\bf{x_i} &n_i&x_i\cdot n_i&x_i^2\cdot n_i\\
\hline
1992&1&1992&3968064\\ \hline
1993&1&1993&3972049\\ \hline
1994&1&1994&3976036\\ \hline
1995&1&1995&3980025 \\ \hline
1996&1&1996&3984016 \\ \hline
1997&1&1997&3988009 \\ \hline
1998&1&1998&3992004 \\ \hline
1999&1&1999&3996001 \\ \hline
2000&1&2000&4000000 \\ \hline
2001&1&2001&4004001 \\ \hline
2002&1&2002&4008004 \\ \hline
2003&1&2003&4012009 \\ \hline
2004&1&2004&4016016 \\ \hline
2005&1&2005&4020025 \\ \hline
2006&1&2006&4024036 \\ \hline
2007&1&2007&4028049 \\ \hline
&16&31992&63968344\\ \hline
\end{array}\]

\[
\begin{array} {|c|c|c|c|}
\hline
\bf{x_i} &n_i&x_i\cdot n_i&x_i^2\cdot n_i\\
\hline
141&1&141&19881\\ \hline
187&1&187&34969\\ \hline
266&1&266&70756\\ \hline
273&1&273&74529\\ \hline
220&1&220&48400\\ \hline
175&1&175&30625\\ \hline
140&1&140&19600\\ \hline
138&1&138&19044\\ \hline
98&1&98&9604\\ \hline
111&1&111&12321\\ \hline
96&1&96&9216\\ \hline
95&1&95&9025\\ \hline
67&1&67&4489\\ \hline
74&1&74&5476\\ \hline
50&1&50&2500\\ \hline
22&1&22&484\\ \hline
&16&2153&370919\\ \hline
\end{array}
\]

\[
\overline x = \displaystyle \frac {31992}{16}=1999,5
\]

\[
\sigma_x^2=\displaystyle \frac {63968344}{16}-1999,5^2=21,25
\]

\[
\sigma_x=\sqrt {21,25} = 4,61
\]

\[
\overline y = \displaystyle \frac {2153}{16}=134,56
\]

\[
\sigma_y^2=\displaystyle \frac {370919}{16}-134,56^2=5076,04
\]

\[
\sigma_y=\sqrt {5076,04}=71,25
\]

\[
\sum x_i y_j =1992 \cdot 141 + 1993 \cdot 187 +...+2007\cdot 22 =4300459
\]

\[
\begin{array}{ll}
\sigma_{XY} &= \displaystyle \frac {\sum x_i y_j }{N}-\overline x \overline y=\\
&=\displaystyle \frac{4300459}{16}-1999,5\cdot 134,56 = 268778,6875 - 269052,72 = -274,03
\end{array}
\]

\[r=\displaystyle \frac {\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}=\displaystyle \frac {-274,03}{4,61 \cdot 71,25}=-0,83\]

Como a simple vista se veía, la correlación es negativa, pues a medida que crecen los años el número de casos disminuye, y además, esta dependencia es fuerte, por tanto, podemos concluir que efectivamente, la forma de descender el número de casos de Sida es regular y no obedece a un comportamiento aleatorio, sino que se acerca a un modelo.

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Aníbal de la Torre

Sardinas (kg)	2000	2400	2500	3000	2900	2800	3160
Precio (€/kg)	1,80	1,68	1,65	1,32	1,44	1,50	1,20

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Respuestas

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Solución

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